单选题 （共 33 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X, Y$ 不相关, 则一定有
$\text{A.}$ $X, Y$ 的协方差等于 0
$\text{B.}$ $X, Y$ 相互独立
$\text{C.}$ $D(X-Y)=D(X)-D(Y)$
$\text{D.}$ $D(X Y)=D(X) D(Y)$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)$, 则 $Y=2 X$ 的概率密度为 $f_Y(y)=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{\pi\left(1+4 y^2\right)}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\pi(4+y)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\pi\left(4+y^2\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{\pi\left(1+y^2\right)}$
袋中有 5 只球，其中 3 只新的， 2 只旧的，每次取一只，无放回取三次，则第一次和第三次均取到新球的概率为
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $1 / 10$
$\text{C.}$ $1 / 5$
$\text{D.}$ $3 / 10$
设事件 $A, B$ 相互独立, 且 $P(A)=1 / 3, P(B)=1 / 5$, 则 $P(A \mid B)=$ 。
$\text{A.}$ $3 / 5$
$\text{B.}$ $2 / 15$
$\text{C.}$ 1/15
$\text{D.}$ $1 / 3$
设 $X \sim N(-1,2)$, 则 $X$ 的密度函数为
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{4}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{2}}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-(x-1)^2}{8}}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{\frac{-(x+1)^2}{4}}$
设某地每年遭受严重自然灾害的次数为随机变量 $X$, 已知该地上半年已经遭受了一次严重自然灾害，那么该地全年遭受严重自然灾害超过 2 次的概率是
$\text{A.}$ $P(X \geq 2)$
$\text{B.}$ $P(X>2 \mid X \geq 1)$
$\text{C.}$ $P(X \geq 2 \mid X>1)$
$\text{D.}$ $1-P(X \leq 2 \mid X=1)$
设 $P(A)>0, P(B)>0$ 则下列叙述正确的选项是
$\text{A.}$ 若 $A$ 与 $B$ 互不相容, 则它们相互独立
$\text{B.}$ 若 $A$ 与 $B$ 相互独立, 则它们互不相容
$\text{C.}$ $A 、 B$ 互不相容与相互独立不可能同时成立
$\text{D.}$ $P(A)=P(B)=0.7$ 且 $A$ 与 $B$ 互不相容
设离散型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0 & x < 0 \\ a & 0 \leq x < 2 \\ \frac{3}{4}-a & 2 \leq x < 3 \\ a+b & x \geq 3\end{array}\right.$, 且 $P(X=3)=\frac{1}{2}$ 则 $a, b$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$
设随机变量 $X \sim U[-1,1]$, 数学期望 $E ( Y )=\frac{1}{2}$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $E(X Y+2 Y)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$
设 $(X, Y)$ 服从区域 $D$ 上的均匀分布, 其中 $D=\{(x, y) \mid x \geq 0,0 \leq y \leq-x+1\}$,则 $P\left(X < \frac{1}{2}, Y < \frac{1}{2}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ 以上选项都不对
设 $X$ 是随机变量, $x_0$ 为任意实数, $E(X)$ 是 $X$ 的数学期望, 则正确的选项是
$\text{A.}$ $E\left(X-x_0\right)^2=E[X-E(X)]^2$
$\text{B.}$ $E\left(X-x_0\right)^2 \geq E[X-E(X)]^2$
$\text{C.}$ $E\left(X-x_0\right)^2 < E[X-E(X)]^2$
$\text{D.}$ $E\left(X-x_0\right)^2=0$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的一个简单随机样本, $\bar{X}, S^2$ 分别为样本均值与样本方差, 则
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{X}-\mu}{S / \sqrt{n-1}} \sim t(n-1)$
设 $A 、 B 、 C$ 为随机事件, $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$, $P(A B)=P(B C)=P(A C)=\frac{1}{6}, P(A \cup B \cup C)=\frac{3}{8}$, 则 $P(C \mid A B)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$.
设随机变量 $X$ 的概率密度函数与分布函数分别是 $f(x)$ 和 $F(x)$, 若 $f(x)=f(-x)$, 则 $F(-1)=(\quad)$
$\text{A.}$ $F(1)$
$\text{B.}$ $1-\int_0^1 f(x) d x$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-\int_0^1 f(x) d x$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}-\int_0^1 f(x) d x$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, 且 $E\left(X^2\right)-5 E X+4=0$, 则 $\lambda=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设随机变量 $X$ 服从区间 $[0,2]$ 上的均匀分布, 若 $P\left(X^2 \leq a\right)=\frac{1}{4}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{D.}$ 1.
设 $A, B, C$ 是任意三个事件，则下列选项中正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$
$\text{B.}$ 若 $A-C=B-C$ ，则 $A=B$
$\text{C.}$ 若 $A C=B C$ ，则 $A=B$
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ 且 $\bar{A} \bar{B}=\varnothing$ ，则 $\bar{A}=B$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个事件，则下列两个命题，（ ）．
（1）若 $P(A)=P(B)$ ，则 $A=B$ ；
（2）若 $P(A B)=0$ ，则 $A B=\varnothing$ ．
（2）不正确
$\text{A.}$ （1）正确，
$\text{B.}$ （1）不正确，（2）正确
$\text{C.}$ （1），（2）均正确
$\text{D.}$ （1），（2）均不正确
甲口袋有 5 个白球， 3 个黑球，乙口袋有 4 个白球， 6 个黑球．从两个口袋中各任取一个球，则取到的两个球颜色相同的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{19}{40}$
$\text{B.}$ $\frac{21}{40}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{40}$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）。
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：$A_1=\{$ 掷第一次出现正面 $\}, A_2=\{$ 郑第二次出现正面 $\}, A_3=\{$ 正反面各出现一次 $\}, A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件 () ．
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布．已知在 1 分钟内有汽车通过的概率为 0.7 ，则 1 分钟内最多有 1 辆汽车通过的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $0.7(1-\ln 0.7)$
$\text{B.}$ $0.3(1-\ln 0.7)$
$\text{C.}$ $0.3(1-\ln 0.3)$
$\text{D.}$ $0.7(1-\ln 0.3)$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知．$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq i \leqslant n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$ ，容量都为 $n$的样本的样本均值，则当 $n$ 固定时，概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而（）．
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
在假设检验中，显著性水平 $\alpha$ 的意义是（ ）。
$\text{A.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被拒绝的概率
$\text{B.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被接受的概率
$\text{C.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被拒绝的概率
$\text{D.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被接受的概率
设 $A , ~ B, ~ C$ 表示三个事件，则 $\bar{A} \bar{B} \bar{C}$ 表示（ ）
$\text{A.}$ A，B，C 中有一个发生
$\text{B.}$ A，B，C 中恰有两个发生
$\text{C.}$ A，B，C 中不多于一个发生
$\text{D.}$ A，B，C 都不发生
设 $A, B$ 为任二事件，则
$\text{A.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B) \quad$
$\text{B.}$ $P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
当 $X$ 服从（ ）分布时，$E X=D X$ 。
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
设是二维离散型随机变量，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是（ ）
$\text{A.}$ $E(X Y)=E X E Y$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $(X, Y)$ 的任何可能取值 $\left(x_i, y_j\right) \quad P_{i j}=P_{i]} P_{j}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则（ ）。
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布
设 $X \sim N(a, 2), Y \sim N(b, 2)$ 且 $X, Y$ 独立，分别在 $X 、 Y$ 中取容量为 $m$ 和 $n$ 的简单随机样本，样本方差分别记为 $S_X^2$ 和 $S_Y^2$ ，则 $T=\frac{1}{2}\left[(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2\right]$ 服从（ ）分布。
$\text{A.}$ $t(m+n-2)$
$\text{B.}$ $F(m-1, n-1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(m+n-2)$
$\text{D.}$ $t(m+n)$