单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right) ， C=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right) ， A ， B ， C$ 均可逆，则（）
$\text{A.}$ $A, B$ 不相似但合同.
$\text{B.}$ $B ， C$ 既相似又合同.
$\text{C.}$ $A, C$ 不相似但合同.
$\text{D.}$ $B, C$ 不相似但合同.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B()$
$\text{A.}$ 合同且相似.
$\text{B.}$ 合同，但不相似.
$\text{C.}$ 不合同，但相似.
$\text{D.}$ 既不合同，也不相似.
设 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆, $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则下列论述中不正确的是：
$\text{A.}$ $\alpha$ 是矩阵 $-2 A$ 的属于特征值 $-2 \lambda$ 的特征向量.
$\text{B.}$ $\alpha$ 是矩阵 $\left(\frac{1}{2} A ^2\right)^{-1}$ 的属于特征值 $\frac{2}{\lambda^2}$ 的特征向量.
$\text{C.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^*$ 的属于特征值 $\frac{| A |}{\lambda}$ 的特征向量.
$\text{D.}$ $\alpha$ 是矩阵 $A ^T$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量.
若非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
k x_1+x_2+x_3=1, \\
x_1+k x_2=3, \\
3 x_1+x_2+x_3=1
\end{array}\right.
$$
有唯一解，则
$\text{A.}$ $k=0$ 或 $k=3$
$\text{B.}$ $k \neq 0$
$\text{C.}$ $k \neq 3$
$\text{D.}$ $k \neq 0$ 且 $k \neq 3$
设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶方阵, $|A|=2,|B|=-3$, 则 $\left|2 A^* B^{-1}\right|=$
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $-\frac{2^{2 n-1}}{3}$
$\text{D.}$ $(D)-\frac{2^{n+1}}{3}$
设 $A$ 为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+t x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+t x_3=0\end{array}\right.$ 的系数矩阵, 若有三阶方阵 $B \neq 0$, 且 $A B=0$, 则
$\text{A.}$ $t=-2$, 且 $|B|=0$
$\text{B.}$ $t=-2$, 且 $|B| \neq 0$
$\text{C.}$ $t=1$, 且 $|B|=0$
$\text{D.}$ $t=1$, 且 $|B| \neq 0$
$A , B$ 都是 n 阶矩阵，且 $A B =0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $| A |=| B |=0$
$\text{C.}$ $A = B =0$
$\text{D.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A ^*$ 中位于 $(1,2)$ 的元素是
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$
$\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$
$\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B = C$
$\text{D.}$ $| A | \neq 0$ 时 $B = C$
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩 $\left( A ^{ T }\right)$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设矩阵 $A$ 的秩为 r ，则 $A$ 中（ ）
$\text{A.}$ 所有 $r -1$ 阶子式都不为 0
$\text{B.}$ 所有 $r -1$ 阶子式全为 0
$\text{C.}$ 至少有一个 r 阶子式不等于 0
$\text{D.}$ 所有 r 阶子式都不为 0
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=$
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设非齐次线性方程组为 $A _{m \times n} x = b$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $r( A )=m$ 时，方程组有解
$\text{B.}$ 当 $r( A )=n$ 时，方程组有唯一解
$\text{C.}$ 当 $m=n$ 时，方程组有唯一解
$\text{D.}$ 当 $r( A ) < n$ 时，方程组有无穷多解
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x = 0$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。
$\text{A.}$ 若 $A x = 0$ 仅有零解，则 $A x = b$ 有唯一解
$\text{B.}$ 若 $A x = 0$ 有非零解，则 $A x = b$ 有无穷多解
$\text{C.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 仅有零解
$\text{D.}$ 若 $A x = b$ 有无穷多解，则 $A x = 0$ 有非零解
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则矩阵 $A$ 和$B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同也不相似
与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ 合同的矩阵是（ ）。
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$ ．
与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ 既相似又合同的矩阵是（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & & \\ & -1 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}3 & & \\ & -4 & \\ & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & -3 & \\ & & 0\end{array}\right)$
设向量组 $\alpha_1=(1,-1,1,0)^T, \alpha_2=(1,1,-1,0)^T, \alpha_3=(-1,1,1, t)^T$ ，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3(\quad)$
$\text{A.}$ 必线性无关
$\text{B.}$ 必线性相关
$\text{C.}$ 必相互正交
$\text{D.}$ 相关与否与 $t$ 有关