单选题 （共 28 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$上可微，且 $f(0,0)=0$ ，极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2} d t \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) d u}{1-e^{-x^4}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
设有积分 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{\ln (1+x)} d x, I_2=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln ^2(1+x)} d x, I_3=\int_0^1 \frac{x^2}{\ln \left(1+x^2\right)} d x$, 则 $I_1, I_2, I_3$按大小不同排列的顺序是
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$
$\text{C.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$.若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 ，有 ( )
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某领域内存在连续的二阶偏导数 $f_x^{\prime} 、 f_{x y}^{\prime \prime} 、 f_{y y}^{\prime \prime}$,且点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是驻点, 当 $f_{x y}^{\prime 2}\left(x_0, y_0\right) < f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right)$, 且 $f_{y y}^{\prime}\left(x_0, y_0\right) < 0$ 时,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值
$\text{D.}$ 不能判断 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
已知曲线 L 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos ^3 t, \\ y=2 \sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$, 则 L 的长度为
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 5.
$\text{D.}$ 6 .
$\text{E.}$ 9
已知函数 $f(u)$ 可导且 $f^{\prime}(0)=2$, 设 $z=f\left(\arctan \frac{x}{y}\right)$, 则 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}$ 与 $z=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(0,2)}$ 的值依次为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ 1,0.
$\text{D.}$ 2,0 .
$\text{E.}$ $1,-1$.
已知 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}, f(x, y)=x^2-y^2+\frac{1}{3} y^3$, 则 $f(x, y)$ 在 D 上的
$\text{A.}$ 最大值为 16 , 最小值为 0 .
$\text{B.}$ 最大值为 16 , 最小值为 $-\frac{4}{3}$.
$\text{C.}$ 最大值为 16 , 最小值为 $-\frac{112}{3}$.
$\text{D.}$ 最大值为 18 , 最小值为 $-\frac{112}{3}$.
$\text{E.}$ 最大值为 18 , 最小值为 -38 .
已知函数 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^2$, 则
$\text{A.}$ $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $(1,-1)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{C.}$ $(-2,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极值点.
$\text{D.}$ $(-1,1)$ 是 $f(x, y)$ 的最大极值点.
$\text{E.}$ 由 $f(x, y)=x^2 y+2 x y+\frac{1}{3} y^3$
设函数 $u=u(x, y)$ 具有二阶连续偏导数, 函数 $F(s, t)$ 具有一阶连续偏导数, 且 $\left(\frac{\partial F}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)^2 \neq$ $0, F\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{B.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}\right)^2$.
设 $z=f(x, v), v=v(x, y)$ 其中 $f, v$ 具有二阶连续偏导数. 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$.
曲面 $x y z=a^3(a>0)$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V =$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} a^3$;
$\text{B.}$ $3 a^3$;
$\text{C.}$ $\frac{9}{2} a^3$;
$\text{D.}$ $6 a^3$.
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ）．
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
2．已知函数 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，满足 $f_{11}^{\prime \prime}\left(f_2^{\prime}\right)^2-2 f_{12}^{\prime \prime} f_1^{\prime} f_2^{\prime}+\left(f_1^{\prime}\right)^2 f_{22}^{\prime \prime}=-\left(f_1^{\prime}\right)^3$ ，其中 $f_1^{\prime} \neq 0$ ，方程 $z=f(x, y)$ 确定隐函数 $x=x(y, z)$ ，则 $\frac{\partial^2 x}{\partial y^2}=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $f(x)=\left(x^2-2 x-3\right)\left|x^3-x\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续．
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续．
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
设有三元方程 $x \arctan x+\frac{\ln x}{\ln y}+z e ^{\sin z}=\frac{\pi}{4}$ ，根据隐函数存在定理，存在点 $(1, e , 0)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$ ．
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$ ．
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$ ．
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $f(x)>0, f^{\prime}(0)=0$ ，则函数 $z(x, y)=f(x)^{f(y)}$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
．
$\text{A.}$ $f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{B.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0) < 0$ ．
$\text{C.}$ $ f(0) < 1, f^{\prime \prime}(0)>0$
$\text{D.}$ $f(0)>1, f^{\prime \prime}(0)>0$ ．
设正值函数 $f(x, y, z)$ 与 $g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的各个偏导数均存在且连续，$f(0,0,0)=$ $g(0,0,0)=1, f(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial f}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=1, g(x, y, z)$ 在点 $(0,0,0)$ 处沿方向 $n$ 的方向导数 $\left.\frac{\partial g}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=2$ ，则 $\left.\frac{\partial\left(\frac{1}{f}+\frac{1}{g}\right)}{\partial n }\right|_{(0,0,0)}=$
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 3 ．
$\text{C.}$ -1 ．
$\text{D.}$ -3 ．
设常数 $\alpha>2$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{\ln n!}{n^\alpha} $ ．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$ 有关
设 $u_n \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 敛散性不定
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
曲线 $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+e^x\right)$ 渐近线的条数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3