单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\ln (1+x)$ 与 $x$ 比较是 ( ).
$\text{A.}$ 高阶的无穷小
$\text{B.}$ 等价的无穷小
$\text{C.}$ 同阶的无穷小
$\text{D.}$ 低阶的无穷小
函数 $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$, 则 $x=3$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 连续点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 跳跃间断点
$\text{D.}$ 无穷间断点
设 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0-\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=$.
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{B.}$ $-f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{C.}$ $2 f^{\prime}\left(x_0\right)$
$\text{D.}$ 不存在
已知 $f(x)=\sin ^2 x$, 则 $f^{\prime}(x)=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\cos ^2 x$
$\text{B.}$ $2 \sin x$
$\text{C.}$ $2 \cos x$
$\text{D.}$ $\sin 2 x$
设函数 $f(x, y)=1-x^2+y^2$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值.
$\text{B.}$ 点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值.
$\text{C.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点.
$\text{D.}$ 点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点.
下面 "结论" 中, 正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 发散
$\text{B.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛
$\text{C.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 都收敛, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 都收敛
$\text{D.}$ 若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n+v_n\right)$ 的收敛性不确定
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内具有连续二阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{e^x-1}=1$,则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 ( ).
$\text{A.}$ 有极值;
$\text{B.}$ 无极值;
$\text{C.}$ 无拐点;
$\text{D.}$ 有拐点.
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$ 可以写为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
设区域 $D =\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}, f(x)$ 为 D 上的正值连续函数, $a, b$为常数, 则 $\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b \pi}{2}$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
设 $f(x)=\cos x(x+|\sin x|)$, 则在 $x=0$ 处有 $($ ).
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=2$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ $f(x)$ 不可导.
设 $\alpha(x)=\frac{1-x}{1+x}, \beta(x)=3-3 \sqrt[3]{x}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时 $($ )
$\text{A.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是同阶无穷小, 但不是等价无穷小;
$\text{B.}$ $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$是等价无穷小;
$\text{C.}$ $\alpha(x)$ 是比 $\beta(x)$ 高阶的无穷小;
$\text{D.}$ $\beta(x)$ 是比 $\alpha(x)$ 高阶的无穷小.
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) d t$, 则 $f(x)= $
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{2}+2$
$\text{C.}$ $x-1$
$\text{D.}$ $x+2$.
$f(x)$ 在 $x_0$ 点可导, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点
$\text{A.}$ 可能连续
$\text{B.}$ 不连续
$\text{C.}$ 连续
$\text{D.}$ 以上都不对
若 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 跳跃间断点
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
设 $f(x)=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$, 则曲线 $f(x)$ ().
$\text{A.}$ 仅有水平渐近线
$\text{B.}$ 仅有铅直渐近线
$\text{C.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
$\text{D.}$ 没有渐近线
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leq 1 \\ a x+b, & x>1\end{array}\right.$ 在 $x=1$ 处可导, 则 (
$\text{A.}$ $a=-1, b=2$
$\text{B.}$ $a=1, b=-1$
$\text{C.}$ $a=2, b=0$
$\text{D.}$ $a=2, b=-1$
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
下列命题中正确的是（）
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不可导, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续.
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处不连续, 则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 中至少有一个不存在.
$\text{C.}$ 若 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right), f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在, 则函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续, 则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左可导并且右可导.
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$在 $(-\infty,+\infty)$ 内 ( )
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, $g(x)=f(0)(1-x)+f(1) x$,则在区间 $[0,1]$ 上 ( )
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \geq g(x)$.
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 时, $f(x) \leq g(x)$.
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续, 则 $\int_0^1 f(x) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{2 n}$.
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2 k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$.
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k-1}{2 n}\right) \frac{1}{n}$.
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} f\left(\frac{k}{2 n}\right) \frac{2}{n}$.
设 $z=x^y$, 则有
$\text{A.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y \ln x$
$\text{B.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1} d x$
$\text{C.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=x^y$
$\text{D.}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{j-1}$
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
设 $b, k$ 为常数, 则函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}k x+b, x < 1 \\ \sqrt{1+x^2}, x \geq 1\end{array}\right.$, 可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $k=0, b=\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $k=\frac{\sqrt{2}}{2}, b=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\text{C.}$ $k=\sqrt{2}, b=0$.
$\text{D.}$ $k=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{E.}$ $k+b=\sqrt{2}$.
设 $a$ 为正实数, 令 $I_a=\int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\ln x}{1+x^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_a=0$.
$\text{B.}$ $I_a=1$.
$\text{C.}$ $I_a=-1$.
$\text{D.}$ $I_a=2$.
$\text{E.}$ $I_a$ 的值与 $a$ 有关.
已知函数 $f(x)=\int_0^x x\left(e^{t^2}-1\right) d t$, 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, $(0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点, $(0,0)$ 是 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点, $(0,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点, $(0,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{E.}$ $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点, $(0,0)$ 不是 $y=f(x)$ 的拐点.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某空心邻域内无界的 ( ) 条件。
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{f(3 x)}=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $3 / 2$
$\text{B.}$ $2 / 3$
$\text{C.}$ $1 / 3$
$\text{D.}$ $4 / 3$
下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（）。
$\text{A.}$ $\int_0^6 \frac{x^3}{1+x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^6 \frac{x}{\left(x^2-6\right)^2} d x$
$\text{D.}$ $\int_{\frac{1}{e}}^e \frac{1}{x \ln x} d x$
$\forall x$, 有 $f(-x)=-f(x)$, 且 $f^{\prime}\left(-x_0\right)=-k \neq 0$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $1 / k$
$\text{B.}$ $-1 / k$
$\text{C.}$ $-k$
$\text{D.}$ $k$
设 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(x+y)^2$, 则 $f(x, y)= $.
$\text{A.}$ $x^2\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 ;$
$\text{B.}$ $\frac{x}{y}(1+y)^2$;
$\text{C.}$ $y^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$;
$\text{D.}$ $\frac{y}{x}(1+y)^2$.
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
设 $f(x, y)=e^{\sqrt{x^2+y^4}}$ ，则函数在原点偏导数存在的情况是（ ）
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 存在．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在．
函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $(0,0)$ 处 $\qquad$
$\text{A.}$ 偏导数不存在
$\text{B.}$ 偏导数存在，但不可微
$\text{C.}$ 可微但偏导数不连续
$\text{D.}$ 偏导数连续
设 $f(x)=\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t, g(x)=\tan x-\sin x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小
设 $f(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, g(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} d t$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小