单选题 （共 18 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=\frac{1}{2}(1-3 i )$ ，则 $\arg z=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\pi-\arctan 3$
$\text{B.}$ $-\arctan 3$
$\text{C.}$ $-\pi-\arctan 3$
$\text{D.}$ $2 k \pi-\arctan 3, k \in Z$
设 $z=\frac{1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}$ ，则 $z^{10}=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
设 $(1+ i )^n=(1- i )^n$ ，则 $n=$ $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $4 k, k \in Z$
$\text{B.}$ $2 k, k \in Z$
$\text{C.}$ $3 k, k \in Z$
$\text{D.}$ $k, k \in Z$
设 $w$ 为任意一个不等于 1 的 $n$ 次单位根，则 $1+w+w^2+\cdots+w^{n-1}=$ $\qquad$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
圆周 $|z-1|=1$ 在变换 $w= i z$ 下的像集为 $\qquad$ ．
$\text{A.}$ $|w- i |=1$
$\text{B.}$ $|w+ i |=1$
$\text{C.}$ $|w+1|=1$
$\text{D.}$ $|w-1|=1$
设 $f(z)=\frac{z}{|z|}$ ，则 $\lim _{z \rightarrow 0} f(z)$ 的值为 ()
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 不存在
$\text{D.}$ 0
函数 $f(z)=3|z|^2$ 在点 $z=0$ 处是（ ）．
$\text{A.}$ 解析的
$\text{B.}$ 可导的
$\text{C.}$ 不可导的
$\text{D.}$ 不解析也不可导
下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如果 $f^{\prime}\left(z_0\right)$ 存在，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析。
$\text{B.}$ 如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 不可导。
$\text{C.}$ 如果 $z_0$ 为 $f(z)$ 和 $g(z)$ 的一个奇点，那么 $z_0$ 也是 $f(z)+g(z)$ 和 $\frac{f(z)}{g(z)}$ 的奇点。
$\text{D.}$ 设 $f(z)$ 在点 $z_0$ 解析，那么 $f(z)$ 在点 $z_0$ 必可导。
下列命题中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 对于任意复数 $z(\neq \infty), e ^z>0$ ．
$\text{B.}$ $f(z)= e ^{\bar{z}}$ 是 $z$ 的解析函数．
$\text{C.}$ 对于任意复数 $z, \overline{ e ^z}= e ^{\bar{z}}$ ．
$\text{D.}$ $f(z)= e ^{\frac{z}{3}}$ 的周期为 $\pi i$ ．
设 $f(z)=\sin z$ ，则下列命题中不正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(z)$ 在复平面上处处解析
$\text{B.}$ $f(z)$ 以 $2 \pi$ 为周期
$\text{C.}$ $\overline{f(z)}=f(\bar{z})$
$\text{D.}$ $|f(z)| \leqslant 1$
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=\frac{1}{2}$ ，则 $\int_C \frac{z^2 \cos \frac{1}{z-2}}{(1-z)^2} d z$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ $2 \pi i (3 \cos 1-\sin 1)$
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $6 \pi i \cos 1$
$\text{D.}$ $-2 \pi \operatorname{isin} 1$
设 $f(z)$ 在单连通区域 $B$ 内处处解析且不为零，$C$ 为 $B$ 内任意一条简单闭曲线，则积分 $\int_C \frac{f^{\prime \prime}(z)+2 f^{\prime}(z)+f(z)}{f(z)} d z=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $2 \pi i$
$\text{B.}$ $-2 \pi i$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 不确定
设路径 $C$ 为以 $(0,-1),(1,-1),(1,1),(0,1)$ 为顶点的四边形，则积分 $\int_{-i}^i \frac{d z}{z}$ 的值为（ ）。
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\pi i$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi i$
设 $C$ 为正向单位圆周，则复积分 $\int_C \frac{z}{(2 z+1)(z-2)} d z$ 的值为 () ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{3} i$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{5} i$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4} i$
下列不等式表示的复平面点集中，既不是开集也不是闭集的点集是（ ）
$\text{A.}$ $\operatorname{Im} z>0$
$\text{B.}$ $\operatorname{Im} z=1$
$\text{C.}$ $0 \leqslant \arg z \leqslant \frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $|z-4| \geqslant|z|$
函数 $f(z)$ 在点 $z$ 解析是 $f(z)$ 在点 $z$ 可导的（ ）
$\text{A.}$ 充分非必要条件
$\text{B.}$ 必要非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非必要也非充分条件
设 $a$ 为非零复数，$C$ 是不经过 $a$ 与 $-a$ 的正向周线，且 $\oint_C \frac{z}{z^2-a^2} d z=2 \pi i$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $a$ 与 $-a$ 均不在 $C$ 内
$\text{B.}$ $a$ 与 $-a$ 均在 $C$ 内
$\text{C.}$ 只有 $a$ 在 $C$ 内
$\text{D.}$ 只有 $-a$ 在 $C$ 内
$z=0$ 为函数 $f(z)=\frac{1}{\cos z-1}+\frac{2}{z^2}$ 的（ ）
$\text{A.}$ 可去奇点
$\text{B.}$ 一阶极点
$\text{C.}$ 二阶极点
$\text{D.}$ 本质奇点
多选题 （共 5 题 ），每题有多个选项正确
给定 $f(z)$ 是区域 $\{|z|>1\}$ 上的全纯函数。下列命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ $\overline{f\left(\frac{1}{\bar{z}}\right)}$ 在 $\{0 < |z| < 1\}$ 上全纯；
$\text{B.}$ $\overline{f(\bar{z})}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯；
$\text{C.}$ $\overline{f(z) f(\bar{z})}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯；
$\text{D.}$ $\overline{f\left(z^2\right)}$ 在 $\{|z|>1\}$ 上全纯。
下列关于（全纯）映射的命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ $f(z)=z+z^2$ 是 $\left\{|z| < \frac{1}{2}\right\}$ 上的单叶函数；
$\text{B.}$ 若区域 $D$ 上的全纯函数 $f$ 在 $D$ 上不是单叶的，则必有 $z_0 \in D$ 满足 $f^{\prime}\left(z_0\right)=0$ ；
$\text{C.}$ 任意给定扩充复平面上的两个圆 $C_1$ 和 $C_2$ ，存在唯一的分式线性变换 $f$ 把 $C_1$ 映到 $C_2$ ；
$\text{D.}$ 存在单位圆到复平面的双射 $f$ ，满足 $f$ 和其逆映射都是连续的。
下列关于共形映射的命题那些是正确的？
$\text{A.}$ 不存在单位圆到复平面的共形映射；
$\text{B.}$ 不存在右半平面 $\{\operatorname{Re} z>0\}$ 到上半圆盘 $\{|z| < 1, \operatorname{Im} z>0\}$ 的共形映射；
$\text{C.}$ 不存在第一象限 $\{\operatorname{Re} z>0, \operatorname{Im} z>0\}$ 到上半平面的共形映射；
$\text{D.}$ 如果一个上半平面到自身的共形映射 $f$ 满足 $f(i)=i$ 和 $f^{\prime}(i)=1$ ，则 $f$ 必为恒同映射。
下列关于整函数的命题那些是正确的？
$\text{A.}$ 若两个整函数 $f$ 和 $g$ 满足 $|f(z)| \leq|g(z)|$ 对任意 $z \in C$ 成立，则存在常数 $c$ 使得 $f(z) \equiv$ cg $(z)$ ．
$\text{B.}$ 任一单叶整函数一定可写为 $a z+b$ 的形式，这里 $a \neq 0, b$ 都是常数。
$\text{C.}$ 若非常数的整函数 $f$ 在 $C$ 上没有零点，则必有 $\lim \sup _{r \rightarrow+\infty} \frac{\max _{|z|=r} \ln |f(z)|}{\ln r}=+\infty$ ．
$\text{D.}$ 若非常数的整函数 $f$ 满足 $f \circ f(z)=f(z)$ 对任意 $z \in C$ 成立，则必有 $f(z) \equiv z$ ．
下列关于调和函数的命题哪些是正确的？
$\text{A.}$ 若 $u$ 是上半平面的有界调和函数，则 $u$ 必为常数；
$\text{B.}$ 任给区域 $\{0 < |z| < 1\}$ 内的调和函数 $u$ ，必存在 $D$ 内的全纯函数 $f$ 使得 $\operatorname{Re} f(z)=$ $u(z)$ 在 $D$ 内成立。
$\text{C.}$ 若 $f$ 在区域 $D$ 内全纯且无零点，则 $\ln |f(z)|$ 在 $D$ 内是调和函数；
$\text{D.}$ 我们称形如 $a x^3+b x^2 y+c x y^2+d y^3$（这里 $(a, b, c, d \in R , a \neq 0)$ ）的多项式为 3 次齐次实系数 2 元多项式。则它们按加法和数乘是 $R$ 上的 4 维线性空间，其中是调和函数的多项式组成一个2维子空间。
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=-3-2 i$ ，则 $z$ 的三角形式为 $\qquad$ ，$z$ 的指数形式为 $\qquad$ ．
复数 $z=\sin \frac{\pi}{3}-i \cos \frac{\pi}{3}$ 的三角形式为 $\qquad$ ，指数形式为 $\qquad$
判断满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通区域？
$\operatorname{Im} z=3$
判断满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通区域？
$|z- i | \leqslant|z+ i |$
判断满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通区域？
$|z| < 1$ ， $\operatorname{Re} z < \frac{1}{2}$ ；
判断满足下列条件的点集是什么？如果是区域，是单连通还是多连通区域？
$\left|\frac{z-1}{z+1}\right| \leqslant 2$
设 $C$ 是围线：由线段 $-1 \leqslant x \leqslant 1, y=0$ 与上半单位圆周组成，如图3．12所示．
则积分 $\int_C|z| \bar{z} d z=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
把复数 $z=1+\sin \alpha+ i \cos \alpha,-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}$ 化为三角形式与指数形式，并求 $z$ 的主辐角与模．
方程 $z^3+1=0$ 的所有根为 $\qquad$ ．
试解方程 $\bar{z}=z^{n-1}$（ $n$ 为自然数）．
设 $\left|z_k\right|=1 \quad(k=1,2, \cdots, n)$ ．
试证：$\left|\sum_{k=1}^n \frac{1}{z_k}\right|=\left|\sum_{k=1}^n z_k\right|$ ．
写出圆周 $x^2+2 x+y^2=1$ 的复数形式．
设动点到两定点 $(4,0)$ 与 $(-4,0)$ 的距离之和等于 12 ，试求该动点轨迹方程．
指出下列方程所表示的曲线及其指向：$z=1+ i t, 0 \leqslant t \leqslant 1$
指出下列方程所表示的曲线及其指向 $z=3 e ^{ i 2 \pi t}, 0 \leqslant t \leqslant 1$
函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的下列曲线变成 $w$ 平面上的什么曲线？
（1）$y=\sqrt{3} x$ ；（2）$x^2+y^2=8$ ．