单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，若 $\alpha_1(x), \alpha_2(x), \beta_1(x), \beta_2(x)$ 都是非零无穷小量，且 $\alpha_1(x) \sim \alpha_2(x)$ ， $\beta_1(x) \sim \beta_2(x)$ ，则下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_2(x)-\beta_2(x)=o\left(\alpha_2(x)\right)$ ．
$\text{B.}$ 若 $\alpha_1(x)-\beta_1(x)=o\left(\alpha_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_2(x) \sim \beta_2(x)$ ．
$\text{C.}$ 若 $\alpha_1(x) \sim \beta_1(x)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
$\text{D.}$ 若 $\alpha_1(x)=o\left(\beta_1(x)\right)$ ，则 $\alpha_1(x)-\beta_1(x) \sim \alpha_2(x)-\beta_2(x)$ ．
下列幂级数的和函数在区间 $(0,1)$ 内必有零点的是（ ）
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n-1)} x^n$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n}$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2 n+1}}{(2 n+1)!(2 n+1)} x^{2 n+1}$ ．
积分 $\int_0^1 x^a|\ln x|^b d x$ 收敛，则（）
$\text{A.}$ $a>-1, b>-1$ ．
$\text{B.}$ $a>-1, b < -1$ ．
$\text{C.}$ $a < -1, b>-1$ ．
$\text{D.}$ $a < -1, b < -1$ ．
设可导函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0$ 的解，并且在 $(-\infty, 0]$ 上满足 $f(x)=$ $g(x)$ ．若 $f(1)>1$ ，则 $g(x)$ 可能为 ()
$\text{A.}$ $x$ ．
$\text{B.}$ $x^2$ ．
$\text{C.}$ $x^3$ ．
$\text{D.}$ $x^4$ ．
设 $A$ 为 3 阶正交矩阵且 $A ^3= E$ ．已知 $\alpha , \beta$ 均为 3 维非零向量，且满足 $\alpha , A \alpha$ 线性无关， $\alpha$ ， $A \alpha , A ^2 \alpha$ 线性相关， $\beta ^{ T } \alpha = \beta ^{ T } A \alpha =0$ ．下列命题中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\alpha , A ^2 \alpha$ 线性无关．
$\text{B.}$ $\beta , A \beta$ 线性无关．
$\text{C.}$ $\alpha , A \alpha , \beta$ 线性无关．
$\text{D.}$ $\beta , A \beta , A ^2 \beta$ 线性相关．
设 $A$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵，若 1 不是 $A$ 的特征值，且 $| A |=-1$ ，则下列命题中，正确的是（ ）
（1） 2 不是 $A + A ^{-1}$ 的特征值．
（2） 2 不是 $A + A ^*$ 的特征值．
（3）－ 1 不是 $A + A ^{ T }- A A ^{ T }$ 的特征值．
（4） 1 不是 $A - A ^*+ A A ^*$ 的特征值．
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （3）（4）．
$\text{C.}$ （1）（4）．
$\text{D.}$ （2）（3）．
现有两个命题：（1） $A ^*$ 对称当且仅当 $A$ 对称；（2） $A ^*$ 正定当且仅当 $A$ 正定．下列说法中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ （1），（2）均正确．
$\text{B.}$ （1）正确，（2）错误．
$\text{C.}$ （1）错误，（2）正确．
$\text{D.}$ （1），（2）均错误．
设随机变量 $X_1, X_2$ 均服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，且相互独立．若 $k$ 为非负整数，则下列结论中，正确的是（ ）
$\text{A.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{B.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-2 \lambda}(2 \lambda)^k}{k!}$ ．
$\text{C.}$ $P\left\{X_1+X_2=2 k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
$\text{D.}$ $P\left\{X_1+X_2=k\right\}=\frac{ e ^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ ．
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\mu, \sigma>0), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，则样本均值 $\bar{X}$ 与总体均值 $\mu$ 的误差不超过 $\frac{\mu \sigma}{\sqrt{n}}$ 的概率 $p(\quad)$
$\text{A.}$ 随着 $\mu$ 增加而增加．
$\text{B.}$ 随着 $\mu$ 增加而减少．
$\text{C.}$ 随着 $n$ 增加而增加．
$\text{D.}$ 随着 $n$ 增加而减少．
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x e ^{-\frac{x}{\theta}}}{\theta^2}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知正参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本．若 $\hat{\theta}$ 是参数 $\theta$ 的矩估计量，则 $D(\hat{\theta})=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{2 n}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{3 n}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{[E(\hat{\theta})]^2}{4 n}$ ．
设 $A, B, C$ 是任意三个事件，则下列选项中正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$
$\text{B.}$ 若 $A-C=B-C$ ，则 $A=B$
$\text{C.}$ 若 $A C=B C$ ，则 $A=B$
$\text{D.}$ 若 $A B=\varnothing$ 且 $\bar{A} \bar{B}=\varnothing$ ，则 $\bar{A}=B$
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个事件，则下列两个命题，（ ）．
（1）若 $P(A)=P(B)$ ，则 $A=B$ ；
（2）若 $P(A B)=0$ ，则 $A B=\varnothing$ ．
（2）不正确
$\text{A.}$ （1）正确，
$\text{B.}$ （1）不正确，（2）正确
$\text{C.}$ （1），（2）均正确
$\text{D.}$ （1），（2）均不正确
甲口袋有 5 个白球， 3 个黑球，乙口袋有 4 个白球， 6 个黑球．从两个口袋中各任取一个球，则取到的两个球颜色相同的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{19}{40}$
$\text{B.}$ $\frac{21}{40}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{40}$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充分必要条件是（ ）。
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
设随机事件 $A, B$ 满足 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ 和 $P(A \cup B)=1$ ，则有 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $A \cup B=\Omega$
$\text{B.}$ $A B=\varnothing$
$\text{C.}$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})=1$
$\text{D.}$ $P(A-B)=0$
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：$A_1=\{$ 掷第一次出现正面 $\}, A_2=\{$ 郑第二次出现正面 $\}, A_3=\{$ 正反面各出现一次 $\}, A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件 () ．
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（）。
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设 $F_1(x), F_2(x)$ 是随机变量的分布函数，$f_1(x), f_2(x)$ 是相应的概率密度，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数
$\text{B.}$ $F_1(x) \cdot F_2(x)$ 是分布函数
$\text{C.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 是概率密度
$\text{D.}$ $f_1(x) \cdot f_2(x)$ 是概率密度
通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布．已知在 1 分钟内有汽车通过的概率为 0.7 ，则 1 分钟内最多有 1 辆汽车通过的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $0.7(1-\ln 0.7)$
$\text{B.}$ $0.3(1-\ln 0.7)$
$\text{C.}$ $0.3(1-\ln 0.3)$
$\text{D.}$ $0.7(1-\ln 0.3)$
设二维随机变量 $\left(X_1, Y_1\right)$ 和 $\left(X_2, Y_2\right)$ 的概率密度分别为 $f_1(x, y)$ 与 $f_2(x, y)$ ，令
$$
f(x, y)=a f_1(x, y)+b f_2(x, y),
$$
若 $f(x, y)$ 是某二维连续型随机变量的概率密度，则 $a, b$ 满足条件（ ）．
$\text{A.}$ $a+b=1$
$\text{B.}$ $a>0$ 且 $b>0$
$\text{C.}$ $0 \leqslant a \leqslant 1,0 \leqslant b \leqslant 1$
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b \geqslant 0$ 且 $a+b=1$
设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $P\{X+Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $P\{\min \{X, Y\} \geqslant 0\}=\frac{1}{4}$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为 （ ）．
$\text{A.}$ $F^2(z)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(z)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
设连续型随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)
$$
则 $E X$（ ）．
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 $\pi$
$\text{D.}$ 不存在
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $U=X+Y, V=X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）。
$\text{A.}$ $E X=E Y$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-(E X)^2=E\left(Y^2\right)-(E Y)^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+(E X)^2=E\left(Y^2\right)+(E Y)^2$
已知连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的概率密度，且
$$
X \sim f(x)= \begin{cases}2 x \theta^2, & 0 < x < \frac{1}{\theta}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 的期望值均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2, X, Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}=0$ ，记 $Z_1=2 X+Y, Z_2=2 X-Y$ ，则 $Z_1, Z_2$ 的相关系数为（ ）．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{\sqrt{10}}$
设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$Y=X^3$ ，则 $X$ 与 $Y(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不相关且相互独立
$\text{B.}$ 不相关且不相互独立
$\text{C.}$ 相关且相互独立
$\text{D.}$ 相关且不相互独立
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是相互独立的随机变量序列，$X_n$ 服从参数为 $n(n \geqslant 1)$ 的指数分布，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（ ）。
$\text{A.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$
$\text{B.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$
$\text{C.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$
$\text{D.}$ $X_1, 2^2 X_2, \cdots, n^2 X_n, \cdots$
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}1-|x|, & |x| < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $X_n$ 表示将一枚硬币随意投掷 $n$ 次出现＂正面＂的次数，则（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自正态总体 $N(0,9)$ 的简单随机样本，则统计量
$$
Y=\frac{1}{2} \frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从（ ）。
$\text{A.}$ $t(10)$
$\text{B.}$ $t(15)$
$\text{C.}$ $F(10,5)$
$\text{D.}$ $F(5,10)$
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)\left(\sigma^2\right.$ 已知），则在给定样本容量 $n$ 及置信度 $1-\alpha$ 的情况下，未知参数 $\mu$ 的置信区间长度随着样本均值 $\bar{X}$ 的增加而（ ）。
$\text{A.}$ 增加
$\text{B.}$ 减少
$\text{C.}$ 不变
$\text{D.}$ 不能确定增或减
假定 $X$ 是连续型随机变量，$U$ 是对 $X$ 的一次观测值．关于其概率密度 $f(x)$ 有如下假设：
$$
H_0: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} H_1: f(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\
0, & \text { 其他, }\end{cases}\right.
$$
检验规则：当事件 $V=\left\{U>\frac{3}{2}\right\}$ 出现时，否定假设 $H_0$ ，接受 $H_1$ ．则犯第一类错误的概率 $\alpha$ 与犯第二类错误的概率 $\beta$ 分别为（）。
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}, \frac{7}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{16}, \frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{16}, \frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}, \frac{9}{16}$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu$ 已知，$\sigma^2$ 未知．$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列样本函数中不是统计量的是（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$\text{B.}$ $\max _{1 \leq i \leqslant n}\left\{X_i\right\}$
$\text{C.}$ $\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
设总体 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), \bar{X}, \bar{Y}$ 是分别来自总体 $X, Y$ ，容量都为 $n$的样本的样本均值，则当 $n$ 固定时，概率 $P\{|\bar{X}-\bar{Y}|>\sigma\}$ 的值随 $\sigma$ 的增大而（）．
$\text{A.}$ 单调增大
$\text{B.}$ 单调减小
$\text{C.}$ 保持不变
$\text{D.}$ 增减不定
在假设检验中，显著性水平 $\alpha$ 的意义是（ ）。
$\text{A.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被拒绝的概率
$\text{B.}$ 原假设 $H_0$ 成立，经检验被接受的概率
$\text{C.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被拒绝的概率
$\text{D.}$ 原假设 $H_0$ 不成立，经检验被接受的概率
设 $A , ~ B, ~ C$ 表示三个事件，则 $\bar{A} \bar{B} \bar{C}$ 表示（ ）
$\text{A.}$ A，B，C 中有一个发生
$\text{B.}$ A，B，C 中恰有两个发生
$\text{C.}$ A，B，C 中不多于一个发生
$\text{D.}$ A，B，C 都不发生
设 $A, B$ 为任二事件，则
$\text{A.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B) \quad$
$\text{B.}$ $P(A \bigcup B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$
设离散型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}c x^4, & x \in[0,1] \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$ ，则常数 $c=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5