单选题 （共 23 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均值与样本方差分别为 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 则 $D\left(\sqrt{n} \bar{X}^2-S^2\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ $2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
$\text{B.}$ $(n-1) \sigma^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^2$
$\text{D.}$ $2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\right) \sigma^4$
设 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立且 $E\left(X_i\right)=1, D\left(X_i\right)=1 \quad(i=1,2,3)$, 则对于任意给定的 $\varepsilon>0$ 由切比雪夫不等式可得
$\text{A.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{B.}$ $P\left(\left|\frac{1}{3} \sum_{i=1}^3 X_i-1\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{C.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-\varepsilon^{-2}$
$\text{D.}$ $P\left(\left|\sum_{i=1}^3 X_i-3\right| < \varepsilon\right) \geq 1-3 \varepsilon^{-2}$
已知随机变量 X 的分布律为 $P(X=k)=\frac{1}{6}(k=1,2, \cdots, 6)$. 设 $f(x)=x^2+a x+12$, 若 $E(f(X))=\frac{8}{3}$, 则 $a=$
$\text{A.}$ -4 .
$\text{B.}$ -5 .
$\text{C.}$ -6 .
$\text{D.}$ -7 .
设 $X_n$ 表示将一枚硬币随意投郑 $n$ 次出现＂正面＂的次数，则（ ）。
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率为（ ）。
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$
$\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$
设 $F_1(x), F_2(x)$ 是随机变量的分布函数，$f_1(x), f_2(x)$ 是相应的概率密度，则 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数
$\text{B.}$ $F_1(x) \cdot F_2(x)$ 是分布函数
$\text{C.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 是概率密度
$\text{D.}$ $f_1(x) \cdot f_2(x)$ 是概率密度
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $U=X+Y, V=X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）。
$\text{A.}$ $E X=E Y$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-(E X)^2=E\left(Y^2\right)-(E Y)^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+(E X)^2=E\left(Y^2\right)+(E Y)^2$
已知连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的概率密度，且
$$
X \sim f(x)= \begin{cases}2 x \theta^2, & 0 < x < \frac{1}{\theta}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
则 $a=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 的期望值均为 $\mu$ ，方差均为 $\sigma^2, X, Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}=0$ ，记 $Z_1=2 X+Y, Z_2=2 X-Y$ ，则 $Z_1, Z_2$ 的相关系数为（ ）．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{\sqrt{15}}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{\sqrt{10}}$
设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$Y=X^3$ ，则 $X$ 与 $Y(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 不相关且相互独立
$\text{B.}$ 不相关且不相互独立
$\text{C.}$ 相关且相互独立
$\text{D.}$ 相关且不相互独立
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 是相互独立的随机变量序列，$X_n$ 服从参数为 $n(n \geqslant 1)$ 的指数分布，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（ ）。
$\text{A.}$ $X_1, \frac{1}{2} X_2, \cdots, \frac{1}{n} X_n, \cdots$
$\text{B.}$ $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$
$\text{C.}$ $X_1, 2 X_2, \cdots, n X_n, \cdots$
$\text{D.}$ $X_1, 2^2 X_2, \cdots, n^2 X_n, \cdots$
设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}1-|x|, & |x| < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{1}{8}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $X_n$ 表示将一枚硬币随意投掷 $n$ 次出现＂正面＂的次数，则（ ）．
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_n-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，从总体 $X$ 中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值，样本方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ．记 $S_k^2=\frac{n}{k} \bar{X}^2+\frac{1}{k} S^2(k=1,2,3,4)$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $E\left(S_1^2\right)=\sigma^2$
$\text{B.}$ $E\left(S_2^2\right)=\sigma^2$
$\text{C.}$ $E\left(S_3^2\right)=\sigma^2$
$\text{D.}$ $E\left(S_4^2\right)=\sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{15}$ 是来自正态总体 $N(0,9)$ 的简单随机样本，则统计量
$$
Y=\frac{1}{2} \frac{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_{10}^2}{X_{11}^2+X_{12}^2+\cdots+X_{15}^2}
$$
服从（ ）。
$\text{A.}$ $t(10)$
$\text{B.}$ $t(15)$
$\text{C.}$ $F(10,5)$
$\text{D.}$ $F(5,10)$
假定 $X$ 是连续型随机变量，$U$ 是对 $X$ 的一次观测值．关于其概率密度 $f(x)$ 有如下假设：
$$
H_0: f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} H_1: f(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 2, \\
0, & \text { 其他, }\end{cases}\right.
$$
检验规则：当事件 $V=\left\{U>\frac{3}{2}\right\}$ 出现时，否定假设 $H_0$ ，接受 $H_1$ ．则犯第一类错误的概率 $\alpha$ 与犯第二类错误的概率 $\beta$ 分别为（）。
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}, \frac{7}{16}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{16}, \frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{16}, \frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}, \frac{9}{16}$
将一枚硬币独立地郑两次，引进事件：$A_1=\{$ 郑第一次出现正面 $\}, A_2=\{$ 郑第二次出现正面 $\}, A_3=\{$ 正，反面各出现一次 $\}, A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：$P\{X=k\}=b \lambda^k,(k=1,2,3, \cdots)$ 且 $b>0$ ，则 $\lambda$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\lambda>0$ 的任意实数
$\text{B.}$ $\lambda=b+1$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{1}{1+b}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{1}{b-1}$
当随机变量的可能值充满区间（ ），则 $\varphi(x)=\cos x$ 可以成为随机变量 $X$ 的分布密度．
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
$\text{C.}$ $[0, \pi]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{3}{2} \pi, \frac{7}{4} \pi\right]$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度，$f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array} \quad(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）。
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\overline{S_1}}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）．
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_1}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．