单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 是连续型随机变量 $X$ 的概率密度, $F(x)$ 为其分布函数, 则
$\text{A.}$ $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$
$\text{B.}$ $P\{X=x\} \leqslant F(x)$
$\text{C.}$ $P\{X=x\}=F^{\prime}(x)$
$\text{D.}$ $P\{X=x\}=f(x)$
设 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数, 则下列函数中一定不是分布函数的是( ).
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F^3(x)$
$\text{C.}$ $F(2 x)$
$\text{D.}$ $2 F(x)$
下列函数中, 可以作为连续型随机变量概率密度的是 ( ).
$\text{A.}$ $f_1(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_2(x)= \begin{cases}\sin x, & -\frac{\pi}{2} \leqslant x < 0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_3(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leqslant x < \pi, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_4(x)= \begin{cases}1-\sin x, & 0 \leqslant x < \frac{\pi}{2}, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leqslant x < 1 \text {, 则 } P\{X=1\}=(\quad) . \\ 1- e ^{-x}, & x \geqslant 1,\end{cases}$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}- e ^{-1}$
$\text{D.}$ $1- e ^{-1}$
已知离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=k\}=p^{k+1}(k=0,1)$, 则 $p=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度, 若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a f_1(x), & x \leqslant 0, \\
b f_2(x), & x>0
\end{array},(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f_X(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}(-\infty < x < +\infty)$, 则 $Y=2 X$ 的概率密度为 $f_Y(y)=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{\pi\left(1+4 y^2\right)}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\pi(4+y)^2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{\pi\left(4+y^2\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{\pi\left(1+y^2\right)}$
已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)=A\left(B+\arctan \frac{x}{2}\right)\left(C+\arctan \frac{y}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $A=\frac{1}{\pi^2}, B=C=\frac{\pi}{2}$
$\text{C.}$ $A=1, B=\frac{\pi}{4}, C=\frac{\pi}{6}$
$\text{D.}$ $A=1, B=C=\frac{\pi}{2}$
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增
$\lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(\pi \sqrt{1+4 n^2}\right)$
$\text{A.}$ 等于 0 .
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 -1 .
$\text{D.}$ 不存在.
若 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \frac{n t^{n-1}}{1+ e ^{x t}} d t$, 则 $\int_0^{+\infty} f(x) d x=$
$\text{A.}$ $e ^2$.
$\text{B.}$ $1+ e$.
$\text{C.}$ $\ln (1+ e )$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_2=\iint_{D_2} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_3=\iint_{D_3} e ^{-x^2} \sin y d x d y$,则（）
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0), \\ 0, \quad(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 两个偏导数都存在，函数也连续。
$\text{B.}$ 两个偏导数都存在, 但函数不连续.
$\text{C.}$ 偏导数不存在，但函数连续。
$\text{D.}$ 偏导数不存在, 函数也不连续.
二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=(n-1) \sum_{i=1}^n x_i^2-2 \sum_{1 < i < j < n} x_i x_j$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ $n-1$.
$\text{D.}$ $n$.
设 $A, B, C, D$ 是四个 4 阶矩阵, 其中 $A, D$ 为非零矩阵, $B, C$ 可逆, 且满足 $A B C D=O$, 若 $r (A)+$ $r (B)+ r (C)+ r (D)= r$, 则 r 的取值范围是
$\text{A.}$ $r < 10$.
$\text{B.}$ $10 \leqslant r \leqslant 12$
$\text{C.}$ $12 < r < 16$
$\text{D.}$ $r \geqslant 16$
矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 与矩阵 $B=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的充分必要条件为
$\text{A.}$ $a-b=0$.
$\text{B.}$ $a b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=0$.
$\text{D.}$ $a, b$ 为任意常数.
设 $A, B$ 为任意两个事件, 若 $P(B)>0$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A \mid A \cup B)=P(A \mid B)$.
$\text{B.}$ $P(A \mid A \cup B) < P(A \mid B)$.
$\text{C.}$ $P(A \mid A \cup B)>P(A \mid B)$.
$\text{D.}$ $P(A \mid A \cup B) \geqslant P(A \mid B)$.
设 $X$ 为非负连续型随机变量, 其 $k(k=1,2, \cdots)$ 阶矩存在概率密度记为 $f(x)$, 分布函数记为 $F(x)$,则 $\int_0^{+\infty}[1-F(x)] d x=$
$\text{A.}$ $E X$.
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)$.
$\text{C.}$ $D X$.
$\text{D.}$ 1.
设 $\bar{X}_n$ 和 $S_n^2$ 分别是样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 的样本均值及样本方差. 若添加一次试验, 则样本扩展为 $X_1$, $X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$, 其样本方差为 $S_{n+1}^2$. 当 $S_{n+1}^2=a S_n^2+\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_{n+1}-b\right)^2}{n(n+1)}$ 成立时, 有
$\text{A.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=\bar{X}_n$.
$\text{B.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=\bar{X}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{n-1}{n}, b=X_i$.
$\text{D.}$ $a=\frac{n}{n+1}, b=X_i$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本, $\mu$ 是未知参数, $X$ 是样本均值，则下列各式是统计量的为（）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
$\text{B.}$ $\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\bar{X}-\mu$
$\text{D.}$ $(\bar{X}-\mu)^2+\sigma^2$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $S^2$ 为样本方差，则
$\text{A.}$ $n \bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $n S^2 \sim \chi^2(n)$
$\text{C.}$ $\frac{(n-1) \bar{X}}{S} \sim t(n-1)$
$\text{D.}$ $\frac{(n-1) X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1, n-1)$
设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个简单随机样本, 则参数 $\lambda$ 的矩估计量为 ( )。
$\text{A.}$ $\frac{1}{2 \bar{X}}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{\bar{X}}$
$\text{C.}$ $\bar{X}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \bar{X}$
反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} d x$
$\text{A.}$ 收敛且等于 0
$\text{B.}$ 收敛且等于 1
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 不能确定敛散性.
设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+|y|}=1$, 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 取极大值.
$\text{B.}$ 取极小值.
$\text{C.}$ 不取极值.
$\text{D.}$ 无法确定.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
(1) 设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设 $f(x)$ 是严格单调的连续奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 已知数列 $\left\{x_n\right\}$, 则 ()
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(g\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} g\left(f\left(x_n\right)\right)$ 存在时, $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 不一定存在
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $f(x)>0, F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t$, 则方程 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$上不同实根的个数为（）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$, 则 $\int f(x) d x=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, & x>1\end{cases}$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C, & x < -1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C, & x>1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^3}{3}+C_1, & x < -1 \\ x+C_2, & -1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+C_3, & x>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3}{3}-\frac{4}{3}+C, \quad x < -1 \\ x+C, \quad-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}+C, \quad x>1\end{array}\right.$
若 $I=\int_0^{+\infty} e^{-p x} \cos q x d x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $p \leq 0, I=q^2$
$\text{B.}$ $p \leq 0, I=p^2+q^2$
$\text{C.}$ $p>0, I=\frac{1}{p^2+q^2}$
$\text{D.}$ $p>0, I=\frac{p}{p^2+q^2}$
设连续函数 $f(x, y)$ 满足 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x-2 y-4}{x^2+y^2}=-1$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h, 0)-f(0,-h)}{h}=($ )
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A A^T=E, B B^T=E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵,则()
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总成立
$\text{B.}$ $|A+B|=|A|+|B|$ 总不成立
$\text{C.}$ 当 $|A||B| < 0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
$\text{D.}$ 当 $|A||B|>0$ 时, $|A+B|=|A|+|B|$ 成立
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 且 $r(B)=2, r(A B)=1$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $r\left(\left(\begin{array}{ll}A^* & O \\ A & B\end{array}\right)=3\right.$
$\text{B.}$ $r\left(\begin{array}{ll}A & O \\ O & B^*\end{array}\right)=3$
$\text{C.}$ $r\left(\left(\begin{array}{cc}A^* & B \\ O & B^*\end{array}\right)=3\right.$
$\text{D.}$ $\left.r\left(\begin{array}{ll}A & B^* \\ O & B\end{array}\right)\right)=3$
$n$ 阶矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right), B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$, 矩阵 $C_1=A B, C_2=A+B, C_3=(A, B)$, 则下列命题一定正确的是（）
(1)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示.
(2)矩阵 $C_1$ 的列向量组可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 线性表示.
(3)矩阵 $C_2$ 的列向量组可由矩阵 $C_3$ 的列向量线性表示.
(4)矩阵的秩满足 $r\left(C_2\right) \leq r\left(C_3\right) \leq r(A)+r(B)$.
$\text{A.}$ (1)(3)(4)
$\text{B.}$ (2)(3)(4)
$\text{C.}$ (1)(4)
$\text{D.}$ (3)4
设 $\alpha_1=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_2=\int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} d t, \alpha_3=\int_0^x d u \int_0^{u^2} \arctan t d t$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
曲线 $y=x \ln \frac{x}{x-1}+\ln [x(x-1)]$ 的渐近线的条数为 ( )
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3 .
若 $\frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0 < a < 1)$ 上的平均值, 其中 $\xi \in(0,1), \eta \in$ $(0, a)$, 则 $\xi$ 与 $\eta$ 的大小关系为 ( )
$\text{A.}$ $\xi < \eta$.
$\text{B.}$ $\xi=\eta$.
$\text{C.}$ $\xi>\eta$.
$\text{D.}$ 从已知条件无法确定.
设函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续,则下列命题中, 正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(1,0)$ 与沿 $(-1,0)$ 的方向导数均存在, 则偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$存在.
$\text{B.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 存在,则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $(-1,0)$ 的方向导数等于 $-f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$.
$\text{C.}$ 若偏导数 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right), f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在。
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的偏导数均存在.
设 $A$ 为 $n \times m$ 矩阵,且 $m \neq n$. 若 $A A ^{ T }= E _n$, 则 ( )
$\text{A.}$ $A x=0$ 只有零解.
$\text{B.}$ $A x = b$ 必有解.
$\text{C.}$ $A ^{ T } x = b$ 必有解.
$\text{D.}$ 若 $m$ 维列向量组 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 线性无关, 则 $A \beta _1, A \beta _2, \cdots, A \beta _s$ 必线性无关.
设 $n$ 阶矩阵 $A = E -k \alpha \alpha ^{ T }$, 其中 $k \neq 0, \alpha \neq 0$. 若 $A ^2= E$, 则下列命题中, 错误的是 ( )
$\text{A.}$ $n-\operatorname{tr}(A)$ 为偶数.
$\text{B.}$ $| A |=-1$.
$\text{C.}$ $A$ 可相似对角化.
$\text{D.}$ $A$ 有 $n-1$ 个线性无关的属于特征值 -1 的特征向量.