单选题 （共 40 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $z=\sqrt{\ln \frac{4}{x^2+y^2}}+\arcsin \frac{1}{x^2+y^2}$ 的定义域是
$\text{A.}$ $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$;
$\text{B.}$ $1 < x^2+y^2 \leq 4$;
$\text{C.}$ $1 \leq x^2+y^2 < 4$;
$\text{D.}$ $1 < x^2+y^2 < 4$.
设 $f\left(x y, \frac{x}{y}\right)=(x+y)^2$, 则 $f(x, y)= $.
$\text{A.}$ $x^2\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 ;$
$\text{B.}$ $\frac{x}{y}(1+y)^2$;
$\text{C.}$ $y^2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2$;
$\text{D.}$ $\frac{y}{x}(1+y)^2$.
$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^2+y^2\right)^{x^2 y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0 ;
$\text{B.}$ 1 ;
$\text{C.}$ 2 ;
$\text{D.}$ $e$
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，且两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点可微的 ( ).
$\text{A.}$ 充分条件，但不是必要条件;
$\text{B.}$ 必要条件, 但不是充分条件;
$\text{C.}$ 充分必要条件;
$\text{D.}$ 既不是充分条件, 也不是必要条件.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$
则在原点 $(0,0)$ 处 $f(x, y)(\quad)$.
$\text{A.}$ 偏导数不存在;
$\text{B.}$ 不可微;
$\text{C.}$ 偏导数存在且连续;
$\text{D.}$ 可微 。
设 $z=f(x, v), v=v(x, y)$ 其中 $f, v$ 具有二阶连续偏导数. 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v \partial y} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{C.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$;
$\text{D.}$ $\frac{\partial^2 f}{\partial v^2} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$.
曲面 $x y z=a^3(a>0)$ 的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积 $V =$
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} a^3$;
$\text{B.}$ $3 a^3$;
$\text{C.}$ $\frac{9}{2} a^3$;
$\text{D.}$ $6 a^3$.
二元函数 $z=3(x+y)-x^3-y^3$ 的极值点是 ( ).
$\text{A.}$ $(1,2)$;
$\text{B.}$ (1.-2);
$\text{C.}$ $(-1,2)$;
$\text{D.}$ $(-1,-1)$.
函数 $u=\sin x \sin y \sin z$ 满足 $x+y+z=\frac{\pi}{2}(x>0, y>0, z>0)$ 的条件极值是 ( ).
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 0 ;
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$;
$\text{D.}$ $\frac{1}{8}$
设函数 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内可微分, 则 在点 $(x, y)$ 处有
$\operatorname{grad}(u v)=$
$\text{A.}$ $gradu-gradv;$
$\text{B.}$ $u \cdot gradv + v cdot gradu;$
$\text{C.}$ $u \cdot gradv;$
$\text{D.}$ $v \cdot gradu$
设 $\left|\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & a & b \\ 1 & -3 & 5 & 0\end{array}\right|=A_{41}-A_{42}+A_{43}+10$ ，其中 $A_{i j}$ 为元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $a, b$ 的值为
$\text{A.}$ $a=4, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=4$
$\text{C.}$ $a=4, b$ 为任意常数
$\text{D.}$ $a=1, b$ 为任意常数
下列行列式中等于零的是
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ -2 & -7 & -6\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right|$
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$ ，则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
设 $D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|, A_{i j}$ 为 $D$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式，则 $A_{31}+2 A_{32}+3 A_{33}=$
$\text{A.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$
$\text{B.}$ $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 1 & -2 & 3\end{array}\right|$
$\text{C.}$ $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & 2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
$\text{D.}$ $\left|\begin{array}{llc}a_{11} & a_{12} & 1 \\ a_{21} & a_{22} & -2 \\ a_{31} & a_{32} & 3\end{array}\right|$
已知 $| A |=\left|\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ 2 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 2 & 2\end{array}\right|=9$ ，则代数余子式 $A_{21}+A_{22}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
$A , B$ 都是 n 阶矩阵，且 $A B =0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $| A |=| B |=0$
$\text{C.}$ $A = B =0$
$\text{D.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，则 $A ^{-1}$ 等于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 4\end{array}\right), A ^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵，则 $A ^*$ 中位于 $(1,2)$ 的元素是
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
设 $A$ 是方阵，如有矩阵关系式 $A B = A C$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$
$\text{B.}$ $B \neq C$ 时 $A =0$
$\text{C.}$ $A \neq 0$ 时 $B = C$
$\text{D.}$ $| A | \neq 0$ 时 $B = C$
已知 $3 \times 4$ 矩阵 $A$ 的行向量组线性无关，则秩 $\left( A ^{ T }\right)$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设两个向量组 $a _1, a _2, \cdots, a _{ s }$ 和 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _s$ 均线性相关，则
$\text{A.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1 a _1+\lambda_2 a _2+\cdots+\lambda_s a _s=0$ 和 $\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots \lambda_s \beta_s=0$
$\text{B.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{ s }$ 使 $\lambda_1\left( a _1+ \beta _1\right)+\lambda_2\left( a _2+ \beta _2\right)+\cdots+\lambda_{ s }\left( a _{ s }+ \beta _{ s }\right)=0$
$\text{C.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 使 $\lambda_1\left( a _1-\beta_1\right)+\lambda_2\left( a _2-\beta_2\right)+\cdots+\lambda_s\left( a _s-\beta_s\right)=0$
$\text{D.}$ 有不全为 0 的数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s$ 和不全为 0 的数 $\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_s$ 使 $\lambda_1 a_1+\lambda_2 a_2+\cdots+$ $\lambda_s a _{ s }=0$ 和 $\mu_1 \beta _1+\mu_2 \beta _2+\cdots+\mu_{ s } \beta _{ s }=0$
设矩阵 $A$ 的秩为 r ，则 $A$ 中（ ）
$\text{A.}$ 所有 $r -1$ 阶子式都不为 0
$\text{B.}$ 所有 $r -1$ 阶子式全为 0
$\text{C.}$ 至少有一个 r 阶子式不等于 0
$\text{D.}$ 所有 r 阶子式都不为 0
设 $A x = b$ 是一非齐次线性方程组，$\eta_1, \eta_2$ 是其任意 2 个解，则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $\eta_1+\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{B.}$ $\frac{1}{2} \eta_1+\frac{1}{2} \eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
$\text{C.}$ $\eta_1-\eta_2$ 是 $A x = 0$ 的一个解
$\text{D.}$ $2 \eta_1-\eta_2$ 是 $A x = b$ 的一个解
设 n 阶方阵 $A$ 不可逆，则必有
$\text{A.}$ 秩 $( A ) < n$
$\text{B.}$ 秩 $( A )=n-1$
$\text{C.}$ $A=0$
$\text{D.}$ 方程组 $A x =0$ 只有零解
设 A 是一个 $n (\geqslant 3)$ 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如存在数 $\lambda$ 和向量 $a$ 使 $A a =\lambda a$ ，则 $a$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
$\text{B.}$ 如存在数 $\lambda$ 和非零向量 $a$ ，使 $(\lambda E - A ) a =0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值
$\text{C.}$ A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
$\text{D.}$ 如 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个互不相同的特征值， $a _1, a _2, a _3$ 依次是 $A$ 的属于 $\lambda_1, \lambda_2$ ， $\lambda_3$ 的特征向量，则 $a _1, a _2, a _3$ 有可能线性相关
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
设 $A$ 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left| A ^2\right|$必为 $1$
$\text{B.}$ $| A |$ 必为 1
$\text{C.}$ $A ^{-1}= A ^{ T }$
$\text{D.}$ $A$ 的行（列）向量组是正交单位向量组
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ ．则（）
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 不等价
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 合同
下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 2 & 6\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right)$
设 $f(x)=x^2-5 x+3, A =\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]$ ，定义 $f( A )= A ^2-5 A +3 E$ ，称其为矩阵 $A$ 的多项式，则 $f( A )=$
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 3 & 3\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right]$
设 $A , B$ 均是 $n$ 阶矩阵，且 $A B = A + B$ ，则
$\text{A.}$ $A - E$ 为可逆矩阵
$\text{B.}$ $A + E$ 为可逆矩阵
$\text{C.}$ $A -2 E$ 为可逆矩阵
$\text{D.}$ $B + E$ 为可逆矩阵
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
设 $y_1, y_2$ 是一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+$ $\mu y_2$ 是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解，若 $f\left(x_0\right)>0$ ，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则函数 $f(x)$在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 取得极小值
$\text{C.}$ 某个邻域内单调增加
$\text{D.}$ 某个邻域内单调减少
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 等价的是（ ）．
$\text{A.}$ $e ^{-\sin x}-1$
$\text{B.}$ $\sqrt{x+1}-\cos x$
$\text{C.}$ $1-\cos \sqrt{2 x}$
$\text{D.}$ $1-\frac{\ln (1+x)}{x}$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left( e ^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件：
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；
（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件个数是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
设单位质点 $P, Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处，$P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 轴正向移动，记 $G$ 为引力常量，则当质点 $P$ 移动到点 $(l, 0)$ 时，克服质点 $Q$ 的引力所做的功为（）．
$\text{A.}$ $\int_0^l \frac{G}{x^2+1} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^l \frac{G x}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^l \frac{G}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^l \frac{G(x+1)}{\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}} d x$