解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_{\mathrm{n}}$ 为数列 $\left\{S_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项积, 已知 $\frac{2}{s_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$.
(1) 证明: 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列;
（2）求 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式.
设函数 $f(x)=x-x \ln x$. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $0 < a_{1} < 1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$.
（I） 证明：函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1 ）$ 是增函数;
(II ) 证明: $a_{n} < a_{n+1} < 1$;
（III）设 $b \in\left(a_{1}, 1\right)$, 整数 $k \geqslant \frac{a_{1}-b}{a_{1} \ln b}$. 证明: $a_{k+1}>b$.
在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}+\frac{n+1}{2^{n}}$.
（1）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{n}$, 求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列, $a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项.
(1) 求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比;
(2) 若 $a_{1}=1$, 求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的 讨 $n$ 项和. 已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列:
(2) 若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.
记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$.
(1) 证明: $\left\{a_{n}\right\}$ 是等孝数列:
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列, 求 $S_{n}$ 的最小值.