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导数21

数学

一、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 若函数

f (x) = a x^{2} - 2 x - | x^{2} - a x + 1 |

有且仅有两个零点, 则

a

的取值范围为

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2. 曲线

y = e^{x}

在点

(0, 1)

处的切线方程为

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3. 已知函数

f (x) = e^{x} + m \sin x - \frac{1}{2} x^{2} - (m + 1) x + 1

, 在

x = 0

处取到极小值, 则实数

m =

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4. 已知函数

f (x) = 2 \sin ω x + 1 (ω > 0)

在

[0, π]

上有且仅有 2 个零点, 则

ω

的取值范围为

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5. 设

a > 0

,已知函数

f (x) = e^{x} - a \ln (a x + b) - b

, 若

f (x) ⩾ 0

恒成立，则

a b

的最大值为

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6. 在同一直角坐标系中,

A, B

分别是函数

f (x) = x e^{m x} + (1 - m) x - \ln x

和

g (x) = x

图象上的动点, 若对于任意

m > 0

, 都有

| A B | \geq a

恒成立, 则实数

a

的最大值为

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7. 设函数

f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)

在区间

(0, π)

内恰有两个零点, 则

ω

的取值范围是

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8. 函数

f (x) = \sin π x + \ln | 2 x - 5 |

的所有零点之和为

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9. 已知函数

f (x) = x^{2} - a x + 2 \ln x, a \in R

.
(1) 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 已知

f (x)

有两个极值点

x_{1}, x_{2}

, 且

x_{1} < x_{2}

, 证明:

2 f (x_{1}) - f (x_{2}) ⩾ - 1 - 3 \ln 2

.

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二、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

10. 设函数

f (x) = \ln (a - x)

, 已知

x = 0

是函数

y = x f (x)

的极值点。
（1）求 a;
（2）设函数

g (x) = \frac{x + f (x)}{x f (x)}

, 证明:

g (x) < 1

.

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11. 设函数

f (x) = x^{3} + 3 b x^{2} + 3 c x

有两个极值点

x_{1} 、 x_{2}

, 且

x_{1} \in [- 1, 0]

,

x_{2} \in [1, 2] .

(1) 求 b、c 满足的约束条件, 并在下面的坐标平面内, 画出满足这些条件的点（b,c c) 的区域;
(2) 证明:

- 10 ⩽ f (x_{2}) ⩽ \frac{1}{2}

.

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12. 已知函数

f (x) = x^{3} + ax + \frac{1}{4}, g (x) = - \ln x

（i）当

a

为何值时,

x

轴为曲线

y = f (x)

的切线;
（ii）用

min {m, n}

表示

m, n

中的最小值，设函数

h (x) = min {f (x), g (x)

\}

(x > 0)

, 讨论

h (x)

零点的个数.

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13. 已知函数

f (x) = x^{3} - x, g (x) = x^{2} + a

, 曲线

y = f (x)

在点

(x_{1}, f (x_{1}))

处的切线也是曲线

y = g (x)

的切线.
（1）若

x_{1} = - 1

, 求

a

:
(2) 求

a

的取值范目.

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14. 已知函数

f (x) = \log_{2} (\frac{2}{x - 1} + 1), g (x) = - 2^{x + 1}

.
(1)求证：

f (x)

为奇函数;
(2)若

2^{f (2^{*})} - k ⩾ g (x)

恒成立, 求实数

k

的取值范围;
(3) 解关于

a

的不等式

g (a) - g (2 - a) ⩽ 2 a - 2

.

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15. 已知函数

f (x) = e^{x} (\sin x + \cos x) - 2 x

(1) 求

f (x)

在

(0, f (0))

处的切线方程;
(2) 求

f (x)

在

[0, \frac{π}{2}]

上的最小值 (参考数据:

e = 2.71828 \dots

)

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16. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x, a \in R

.
(1) 求

f (x)

的极值;
(2) 令

F (x) = f (x) + a x + \sin x - b x - 1

, 当

1 \leq b < 2

时, 讨论

F (x)

零点的个数.

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17. 对于函数

f (x)

, 若其定义域内存在实数

x

满足

f (- x) = - f (x)

, 则称

f (x)

为 “准奇函数”.
（1）已知函数

f (x) = \frac{x - 3}{x + 1}

, 试问

f (x)

是否为 “准奇函数”? 说明理由；
（2）若

g (x) = 3^{x} + m

为定义在

[- 1, 1]

上的 “准奇函数”, 试求实数

m

的取值范围.

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18. 点

P

在直线上运动,

t (t ⩾ 0)

时刻的速度

v (t)

和加速度

a (t)

满足以下条件,
(1) 当

0 ⩽ t ⩽ 2

时,

r (t) = 2 t^{3} - 8 t

.
(2) 当

t ⩾ 2

时,

a (t) = 6 t + 4

.
求点

P

从

t = 0

到

t = 3

时刻移动的距离

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19. 对于常数

a 、 b 、 c

，函数

f (x) = a c^{2 x} + b e^{2} + c

满足以下条件率：
(a)

lim_{x \to - \infty =} \frac{f (x) + 6}{e^{x}} = 1

(b)

f (\ln 2) = 0

如果

g (x)

是函数

f (x)

的指数，且

\int_{0}^{14} g (x) d x = p + q \ln 2

。找出

p + q

的值。
（其中，

p 和 q

是有理数，

\ln 2

是无理数。）

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20. 对于最高阶项系数为正的三次函数

f (x)

和函数

g (x) = e^{\sin π x} - 1

，复合函数

h (x) = g (f (x))

满足条件
(A) 函数

h (x)

在

x = 0

时的最大值为 0。
(B) 方程

h (x) = 1

在开区间

(0, 3)

内的不同实根个数为7。
当

f (3) = \frac{1}{2}

且

f^{'} (3) = 0

时，

f (2) = \frac{q}{p}

。找出

p + q

的值。（其中，

p

和

q

是互质自然数。）

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21. 已知函数

f (x) = x^{2} - x + x \ln x

.
(1) 设

f (x)

的零点为

m

, 求曲线

y = f (x)

在点

(m, 0)

处的切线方程;
(2) 若不等式

a f (x) ⩽ (a^{2} + a - 1) x^{2} - 2 a x (a \neq 0)

对

x \in [\frac{1}{e}, + \infty)

恒成立, 求

a

的取值范围.

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22. 设

a \neq b

且为实数，若二次函数

f (x) = x^{2} + a x + b

满足

f (a) = f (b)

,求

f (2)

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23. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \cos x + b x \ln x - b x, a 、 b \in R

.
(1) 若

b = 0

且函数

f (x)

在

(0, \frac{π}{2})

上是单调递增函数, 求

a

的取值范围;
(2) 设

f (x)

的导函数为

f^{'} (x)

, 若

0 < a < 1 ， x_{1} 、 x_{2}

满足

f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})

, 证明:

\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} > 2 \sqrt{\frac{- b}{1 + a}}

.

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24. 已知函数

f (x) = x \ln x - x - \frac{a x^{2}}{2} + 1 (a \in R)

.
（1）当

a = 1

时, 求

f (x)

在

(1, f (1))

处的切线方程;
(2) 若函数

f (x)

有两个不同的极值点

x_{1}, x_{2}

. 求证:

x_{1} x_{2} < \frac{1}{a^{2}}

.

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25. 设函数

f (x) = a x^{3} - (a + 1) x^{2} + x, g (x) = k x + m

, 其中

a \geq 0, k 、 m \in R

, 若对任意

x \in [0, 1]

均有

f (x) \leq g (x)

, 则称函数

y = g (x)

是函数

y = f (x)

的 “控制函数” , 且对所有的函数

y = g (x)

取最小值定义为

\bar{f} (x)

.
(1) 若

a = 2, g (x) = x

, 试问

y = g (x)

是否为函数

y = f (x)

的 “控制函数”;
(2) 若

a = 0

, 使得直线

y = h (x)

是曲线

y = f (x)

在

x = \frac{1}{4}

处的切线.
证明: 函数

y = h (x)

为函数

y = f (x)

的 “控制函数” ，并求

\bar{f} (\frac{1}{4})

的值;
(3) 若曲线

y = f (x)

在

x = x_{0}, x_{0} \in (0, 1)

处的切线过点

(1, 0)

, 且

c \in [0, 1]

.
证明：当且仅当

c = x_{0}

或

c = 1

时,

\bar{f} (c) = f (c)

.

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26. 已知函数

f (x) = | x e^{x} - a | - a x (\ln x + 1) (a \in R)

.
(1) 若

a = - 1

, 证明:

f (x) ⩾ x (e^{x} + 2)

;
(2) 若

f (x) > 0

对任意的

x \in (0, + \infty)

恒成立, 求

a

的取值范围.

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27. 已知

f (x) = \ln x - a x + 1 (a \in R)

.
(1) 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 若

f (x) ⩽ \frac{1}{2} a x^{2} - x

对

x \in (0, + \infty)

恒成立, 求整数

a

的最小值.

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28. 设函数

f (x) = \frac{e}{2 x} + \ln x (x > 0)

.
(1) 求

f (x)

的单调区间;
(2) 已知

a, b \in R

, 曲线

y = f (x)

上不同的三点

(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, f (x_{2})), (x_{3}, f (x_{3}))

处的切线都经过点

(a, b)

. 证明:
(i) 若

a > e

, 则

0 < b - f (a) < \frac{1}{2} (\frac{a}{e} - 1)

;
(ii) 若

0 < a < e, x_{1} < x_{2} < x_{3}

, 则

\frac{2}{e} + \frac{e - a}{6 e^{2}} < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}} < \frac{2}{a} - \frac{e - a}{6 e^{2}}

.
(注:

e = 2.71828 \dots

是自然对数的底数)

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