若函数 $f(x)=a x^2-2 x-\left|x^2-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点, 则 $a$ 的取值范围为
曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+m \sin x-\frac{1}{2} x^2-(m+1) x+1$, 在 $x=0$ 处取到极小值, 则实数 $m=$
已知函数 $f(x)=2 \sin \omega x+1(\omega>0)$ 在 $[0, \pi]$ 上有且仅有 2 个零点, 则 $\omega$ 的取值范围为
设 $a>0$,已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a \ln (a x+b)-b$, 若 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值为
在同一直角坐标系中, $A, B$ 分别是函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{m x}+(1-m) x-\ln x$ 和 $g(x)=x$ 图象上的动点, 若对于任意 $m>0$, 都有 $|A B| \geq a$ 恒成立, 则实数 $a$ 的最大值为
设函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)+1(\omega>0)$ 在区间 $(0, \pi)$ 内恰有两个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
函数 $f(x)=\sin \pi x+\ln |2 x-5|$ 的所有零点之和为
已知函数 $f(x)=x^2-a x+2 \ln x, a \in \mathbf{R}$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 已知 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1, x_2$, 且 $x_1 < x_2$, 证明: $2 f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right) \geqslant-1-3 \ln 2$.
设函数 $f(x)=\ln (a-x)$, 已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点。
（1）求 a;
（2）设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$, 证明: $g(x) < 1$.
设函数 $f(x)=x^{3}+3 b x^{2}+3 c x$ 有两个极值点 $x_{1} 、 x_{2}$, 且 $x_{1} \in[-1,0]$, $x_{2} \in[1,2] .$
(1) 求 b、c 满足的约束条件, 并在下面的坐标平面内, 画出满足这些条件的点 （b,c c) 的区域;
(2) 证明: $-10 \leqslant \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}$.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\mathrm{ax}+\frac{1}{4}, \mathrm{~g}(\mathrm{x})=-\ln \mathrm{x}$
（i）当 $a$ 为何值时, $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线;
（ii）用 $\min \{\mathrm{m}, \mathrm{n}\}$ 表示 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 中的最小值，设函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\min \{\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})$ \}$(\mathrm{x}>0)$, 讨论 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 零点的个数.
已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线.
（1）若 $x_{1}=-1$, 求 $a$ :
(2) 求 $a$ 的取值范目.
已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(\frac{2}{x-1}+1\right), g(x)=-2^{x+1}$.
(1)求证： $f(x)$ 为奇函数;
(2)若 $2^{f\left(2^{*}\right)}-k \geqslant g(x)$ 恒成立, 求实数 $k$ 的取值范围;
(3) 解关于 $a$ 的不等式 $g(a)-g(2-a) \leqslant 2 a-2$.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)-2 x$
(1) 求 $f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程;
(2) 求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最小值 (参考数据: $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ )
已知函数 $f(x)=e^x-a x, a \in R$.
(1) 求 $f(x)$ 的极值;
(2) 令 $F(x)=f(x)+a x+\sin x-b x-1$, 当 $1 \leq b < 2$ 时, 讨论 $F(x)$ 零点的个数.
对于函数 $f(x)$, 若其定义域内存在实数 $x$ 满足 $f(-x)=-f(x)$, 则称 $f(x)$ 为 “准奇函数”.
（1）已知函数 $f(x)=\frac{x-3}{x+1}$, 试问 $f(x)$ 是否为 “准奇函数”? 说明理由；
（2）若 $g(x)=3^x+m$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的 “准奇函数”, 试求实数 $m$ 的取值范围.
点 $P$ 在直线上运动, $t(t \geqslant 0)$ 时刻的速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$ 满足以下条件,
(1) 当 $0 \leqslant t \leqslant 2$ 时, $r(t)=2 t^3-8 t$.
(2) 当 $t \geqslant 2$ 时, $a(t)=6 t+4$.
求点 $P$ 从 $t=0$ 到 $t=3$ 时刻移动的距离
对于常数$a、b、c$，函数$f(x)=a c^{2 x}+b e^2+c$满足以下条件率：
(a) $\lim _{x \rightarrow-\infty=} \frac{f(x)+6}{e^x}=1$
(b) $f(\ln 2)=0$
如果 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的指数，且 $\int_0^{14} g(x) d x=p+q \ln 2$。 找出 $p+q$ 的值。
（其中，$p和q$是有理数，$\ln 2$是无理数。）
对于最高阶项系数为正的三次函数$f(x)$和函数$g(x)=e^{\sin\pi x}-1$，复合函数$h (x)=g(f(x))$ 满足条件
(A) 函数 $h(x)$ 在 $x=0$ 时的最大值为 0。
(B) 方程$h(x)=1$在开区间$(0,3)$内的不同实根个数为7。
当 $f(3)=\frac{1}{2}$ 且 $f^{\prime}(3)=0$ 时，$f(2)=\frac{q}{p}$。 找出 $p+q$ 的值。 （其中，$p$ 和 $q$ 是互质自然数。）
已知函数 $f(x)=x^2-x+x \ln x$.
(1) 设 $f(x)$ 的零点为 $m$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(m, 0)$ 处的切线方程;
(2) 若不等式 $a f(x) \leqslant\left(a^2+a-1\right) x^2-2 a x(a \neq 0)$ 对 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值 范围.
设$a \ne b$且为实数，若二次函数$f(x)=x^2+ax+b$满足$f(a)=f(b)$,求$f(2)$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-a \cos x+b x \ln x-b x, a 、 b \in R$.
(1) 若 $b=0$ 且函数 $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是单调递增函数, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 设 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $0 < a < 1 ， x_1 、 x_2$ 满足 $f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right)$, 证明: $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>2 \sqrt{\frac{-b}{1+a}}$.
已知函数 $f(x)=x \ln x-x-\frac{a x^2}{2}+1(a \in \mathbf{R})$.
（1）当 $a=1$ 时, 求 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 若函数 $f(x)$ 有两个不同的极值点 $x_1, x_2$. 求证: $x_1 x_2 < \frac{1}{a^2}$.
设函数 $f(x)=a x^3-(a+1) x^2+x, g(x)=k x+m$, 其中 $a \geq 0, k 、 m \in \mathbf{R}$, 若对任意 $x \in[0,1]$ 均有 $f(x) \leq g(x)$, 则称函数 $y=g(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数” , 且对所有 的函数 $y=g(x)$ 取最小值定义为 $\bar{f}(x)$.
(1) 若 $a=2, g(x)=x$, 试问 $y=g(x)$ 是否为函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数”;
(2) 若 $a=0$, 使得直线 $y=h(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处的切线.
证明: 函数 $y=h(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数” ， 并求 $\bar{f}\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值;
(3) 若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0, x_0 \in(0,1)$ 处的切线过点 $(1,0)$, 且 $c \in[0,1]$.
证明：当且仅当 $c=x_0$ 或 $c=1$ 时, $\bar{f}(c)=f(c)$.
已知函数 $f(x)=\left|x \mathrm{e}^x-a\right|-a x(\ln x+1)(a \in \mathbf{R})$.
(1) 若 $a=-1$, 证明: $f(x) \geqslant x\left(\mathrm{e}^x+2\right)$;
(2) 若 $f(x)>0$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
已知 $f(x)=\ln x-a x+1(a \in \mathbf{R})$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x) \leqslant \frac{1}{2} a x^2-x$ 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 求整数 $a$ 的最小值.
设函数 $f(x)=\frac{e}{2 x}+\ln x(x>0)$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1, f\left(x_1\right)\right),\left(x_2, f\left(x_2\right)\right),\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线 都经过点 $(a, b)$. 证明:
(i) 若 $a>e$, 则 $0 < b-f(a) < \frac{1}{2}\left(\frac{a}{e}-1\right)$;
(ii) 若 $0 < a < e, x_1 < x_2 < x_3$, 则 $\frac{2}{e}+\frac{e-a}{6 e^2} < \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_3} < \frac{2}{a}-\frac{e-a}{6 e^2}$.
(注: $e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数)