解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数$f(x)=\sin x-\ln (1+x)$，$f'(x)$为$f(x)$的导数．证明：
（1）$f'(x)$在区间$(-1,\dfrac{-\pi}{2})$存在唯一极大值点；
（2）$f(x)$有且仅有2个零点．
已知$a，b，c$为正数，且满足$abc=1$．证明：
（1）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
（2）$(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$
已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$.
(1) 当 $\mathrm{a}=1$ 时, 求不等式 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant 6$ 的解集;
（2）若 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geqslant-\mathrm{a}$, 求 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=e^{x}\left(x^{2}+m x+m^{2}\right), g(x)=a x^{2}+x+a x \ln x$.
(1) 若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取极小值, 求实数 $m$ 的值;
(2) 设 $m=0$, 若对任意 $x \in(0,+\infty)$, 不等式 $f(x) \geq g(x)$ 恒成立, 求实数 $a$ 的值.
已知函数 $f(x)=|2 x-1|-|x+1|$.
（1）求不等式 $f(x) < 2$ 的解集;
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f(x) \leq a-\frac{a^{2}}{2}$ 有解，求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2}+a \mathrm{x}+1-\ln \mathrm{x}$.
(I) 当 $a=3$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调递增区间;
(II ) 若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数, 求实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.