曲线 $C$ 上任意一点到点 $M(-3,4)$ 的距离与到点 $N(-2,1)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$.
（1）试问曲线 $C$ 为何种曲线, 说明你的理由;
(2) 过直线 $l: x+y-5=0$ 上一点 $E$ 向曲线 $C$ 作一条切线, 切点为 $F$, 求 $|E F|$ 的最小值.
已知圆心为 $M$ 的圆经过 $A(-2,6), B(6,0), C(-8,-2)$ 这三个点.
(1) 求圆 $M$ 的标准方程;
(2) 直线 $l$ 过点 $P(4,6)$, 若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为 10 , 求直线 $l$ 的方程.
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 㐫心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F_1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, $A B$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{12}{7}, \frac{4}{7}\right)$.
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 求 $\triangle A F_2 B$ 的面积.
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1(a>2)$ 过点 $\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right), F_1, F_2$ 分别为左、右焦点, $P$ 为第一象限内 楉圆 $C$ 上的动点, 直线 $P F_1, P F_2$ 与直线 $x=t(t>0)$ 分別交于 $A, B$ 两点, 记 $\triangle P A B$ 和 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$.
(1) 试确定实数 $t$ 的值, 使得点 $P$ 到 $F_2$ 的距为与到直线 $x=t$ 的距㝑之比为定值 $k$, 并求出 $k$ 的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{9}$, 求 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{P B\left|P F_2\right|}$ 的值.
已知双曲线 $C_: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 实轴长为 $2 \sqrt{3}$, 一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x-3 y=0$, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(12 已知$P(-\sqrt{5},0)$ 若三角形ABP的外心$Q$的横坐标为0，请直线l的方程
在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 角 $a, \beta, \gamma(a, \beta, \gamma \in(0,2 \pi))$ 的 顺点在原点, 始边
均与 $\mathrm{x}$ 轴正半轴重合, 角 $a$ 的终边经过点 $\mathrm{A}(-1,2)$, 角 $\beta$ 的终边 烃过点 B $(3,4)$.
(I) 求 $\tan (a-\beta)$ 的值;
(II) 若角 $y$ 的终边为 $\angle A O B$ (锐角) 的平分线, 求 $\sin ^2 Y$ 的值.
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}-1+\frac{a}{e^x}$ 的最小值为 1 .
(I) 求实数 $\mathbf{a}$ 的值;
(II) 若直线 $l: y=k x-1$ 与曲线 $y=f(x)$ 没有公共点, 求实数 $k$ 的 取值范围。
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$, 过点 $Q(1,3)$ 作直线与 $C$ 交于 $M, N$ 两点, 当该直线垂直于 $x$ 轴时, $\triangle O M N$ 的面积为 2 , 其中 $O$ 为坐标原点.
(1)求 $C$ 的方程.
(2) 若 $C$ 的一条弦 $S T$ 经过 $C$ 的焦点, 且直线 $S T$ 与直线 $M N$ 平行, 试问是否存在常数 $\Omega$, 使 得 $|Q M| \cdot|Q N|=\Omega|S T|$ 恒成立? 若存在, 求 $\Omega$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+3 \cos \theta, \\ y=2+3 \sin \theta\end{array}(\theta\right.$ 为参数, $\pi \leqslant \theta \leqslant 2 \pi)$. 以坐标 原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 $M$ 的方程为 $\rho=1$.
(1)求曲线 $C$ 的普通方程和曲线 $M$ 的直角坐标方程;
(2) 若 $A, B$ 分别是曲线 $C$ 和曲线 $M$ 上的动点, 求 $|A B|$ 的最大值.
如图所示, 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 与直线 $l: \frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$. 点 $P$ 在 直线 $l$ 上, 由点 $P$ 引椭圆 $C$ 的两条切线 $P A, P B$, 点 $A, B$ 为切点, $O$ 是 坐标原点.
(1) 若点 $P$ 为直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点,求 $\triangle P A B$ 的面积 $S$;
(2)若 $O D \perp A B, D$ 为垂足, 求证: 存在定点 $Q$, 使得 $|D Q|$ 为定值.
已知 $x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$, 且经过 $F$ 的直线被圆 $(x-1)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=9$ 截得的线段长度的最小值为 4 .
(1) 求抛物线的方程;
(2) 设坐标原点为 $O$, 若过点 $(2,0)$ 作直线 $l$ 与抛物线相交于不同的两点 $P, Q$, 过点 $P, Q$ 作抛物线的 切线分别与直线 $O Q, O P$ 相交于点 $M, N$, 请问直线 $M N$ 是否经过定点? 若是, 请求出此定点坐标, 若不 是, 请说明理由.
已知点 $M(4,4)$ 在抛物线 $\Gamma: x^2=2 p y$ 上, 过动点 $P$ 作抛物线的两条切线, 切点分别为 $A 、 B$, 且 直线 $P A$ 与直线 $P B$ 的斜率之积为 $-2$.
(1) 证明: 直线 $A B$ 过定点;
(2) 过 $A 、 B$ 分别作抛物线准线的垂线, 垂足分别为 $C 、 D$, 问: 是否存在一点 $P$ 使得 $A 、 C 、 P 、 D$ 四点共圆? 若存在, 求所有满足条件的 $P$ 点; 若不存在, 请说明理由.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的准线与 $x$ 轴的交点为 $H$, 直线过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 且
与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $\triangle H A B$ 的面积的最小值为 4 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $Q\left(\frac{17}{4}, 1\right)$ 的动直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点, 试问抛物线 $C$ 上是否存在定点 $E$, 使得 对任意的直线 $l$, 都有 $E M \perp E N$, 若存在, 求出点 $E$ 的坐标; 若不存在, 则说明理由.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上一点 $M(3, t)$ 到准线的距离为 4 , 焦点 为 $\mathrm{F}$, 坐标原点为 $O$, 直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点 (与 $O$ 点均不重合).
(1) 求抛物线 $C$ 方程;
(2) 若以 $A B$ 为直径的圆过原点 $O$, 求 $\triangle A B F$ 与 $\triangle B O F$ 的面积之和的最小值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $\mathrm{C}$ 满足参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\right.$ ～$\alpha$ 为 参数, $\alpha \in[-\pi, 0]$ ). 以坐标原点为极点, $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 $l$ 的 极坐标方程为 $\rho \cos \theta+\rho \sin \theta-m=0$.
(1) 求曲线 $\mathrm{C}$ 和直线 $l$ 的直角坐标方程;
(2) 若直线 $l$ 与曲线 $\mathrm{C}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 且 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$, 求实数 $m$ 的值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$.
请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题.
① $b=\sqrt{3}$; ②离心率为 2; ③与椭圆 $\frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的焦点相同.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=x-3$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 求 $|A B|$ 的值.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
已知点 $(4,2)$ 在抛物线 $C: x^2=2 p y$ 上, 直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle A O B=90^{\circ}$.
(1) 求抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离;
(2) 求 $\triangle A O B$ 面积的最小值.