圆锥曲线05-数学组卷-自助组卷

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圆锥曲线05

数学

一、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 曲线

C

上任意一点到点

M (- 3, 4)

的距离与到点

N (- 2, 1)

的距离之比为

\sqrt{2}

.
（1）试问曲线

C

为何种曲线, 说明你的理由;
(2) 过直线

l : x + y - 5 = 0

上一点

E

向曲线

C

作一条切线, 切点为

F

, 求

| E F |

的最小值.

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2. 已知圆心为

M

的圆经过

A (- 2, 6), B (6, 0), C (- 8, - 2)

这三个点.
(1) 求圆

M

的标准方程;
(2) 直线

l

过点

P (4, 6)

, 若直线

l

被圆

M

截得的弦长为 10 , 求直线

l

的方程.

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3. 已知椭圆

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 㐫心率为

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 过点

F_{1}

的直线

l

交椭圆

C

于

A, B

两点,

A B

的中点坐标为

(- \frac{12}{7}, \frac{4}{7})

.
(1) 求椭圆

C

的标准方程;
(2) 求

△ A F_{2} B

的面积.

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4. 已知椭圆

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 4} = 1 (a > 2)

过点

(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}), F_{1}, F_{2}

分别为左、右焦点,

P

为第一象限内楉圆

C

上的动点, 直线

P F_{1}, P F_{2}

与直线

x = t (t > 0)

分別交于

A, B

两点, 记

△ P A B

和

△ P F_{1} F_{2}

的面积分别为

S_{1}, S_{2}

.
(1) 试确定实数

t

的值, 使得点

P

到

F_{2}

的距为与到直线

x = t

的距㝑之比为定值

k

, 并求出

k

的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{25}{9}

, 求

\frac{| P A | | P F_{1} |}{P B | P F_{2} |}

的值.

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5. 已知双曲线

C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 实轴长为

2 \sqrt{3}

, 一条渐近线方程为

\sqrt{3} x - 3 y = 0

, 过

F_{2}

的直线

l

与双曲线

C

的右支交于

A, B

两点.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(12 已知

P (- \sqrt{5}, 0)

若三角形ABP的外心

Q

的横坐标为0，请直线l的方程

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6. 在直角坐标系

xOy

中, 角

a, β, γ (a, β, γ \in (0, 2 π))

的顺点在原点, 始边
均与

x

轴正半轴重合, 角

a

的终边经过点

A (- 1, 2)

, 角

β

的终边烃过点 B

(3, 4)

.
(I) 求

\tan (a - β)

的值;
(II) 若角

y

的终边为

∠ A O B

(锐角) 的平分线, 求

\sin^{2} Y

的值.

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7. 已知函数

f (x) = 2 x - 1 + \frac{a}{e^{x}}

的最小值为 1 .
(I) 求实数

a

的值;
(II) 若直线

l : y = k x - 1

与曲线

y = f (x)

没有公共点, 求实数

k

的取值范围。

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8. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

, 过点

Q (1, 3)

作直线与

C

交于

M, N

两点, 当该直线垂直于

x

轴时,

△ O M N

的面积为 2 , 其中

O

为坐标原点.
(1)求

C

的方程.
(2) 若

C

的一条弦

S T

经过

C

的焦点, 且直线

S T

与直线

M N

平行, 试问是否存在常数

Ω

, 使得

| Q M | \cdot | Q N | = Ω | S T |

恒成立? 若存在, 求

Ω

的值; 若不存在, 请说明理由.

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9. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

的参数方程为

{\begin{cases} x = 4 + 3 \cos θ, \\ y = 2 + 3 \sin θ \end{cases} (θ

为参数,

π ⩽ θ ⩽ 2 π)

. 以坐标原点

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线

M

的方程为

ρ = 1

.
(1)求曲线

C

的普通方程和曲线

M

的直角坐标方程;
(2) 若

A, B

分别是曲线

C

和曲线

M

上的动点, 求

| A B |

的最大值.

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10. 如图所示, 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1

与直线

l : \frac{x}{6} + \frac{y}{3} = 1

. 点

P

在直线

l

上, 由点

P

引椭圆

C

的两条切线

P A, P B

, 点

A, B

为切点,

O

是坐标原点.

(1) 若点

P

为直线

l

与

y

轴的交点,求

△ P A B

的面积

S

;
(2)若

O D ⊥ A B, D

为垂足, 求证: 存在定点

Q

, 使得

| D Q |

为定值.

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11. 已知

x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 且经过

F

的直线被圆

(x - 1)^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 9

截得的线段长度的最小值为 4 .
(1) 求抛物线的方程;
(2) 设坐标原点为

O

, 若过点

(2, 0)

作直线

l

与抛物线相交于不同的两点

P, Q

, 过点

P, Q

作抛物线的切线分别与直线

O Q, O P

相交于点

M, N

, 请问直线

M N

是否经过定点? 若是, 请求出此定点坐标, 若不是, 请说明理由.

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12. 已知点

M (4, 4)

在抛物线

Γ : x^{2} = 2 p y

上, 过动点

P

作抛物线的两条切线, 切点分别为

A 、 B

, 且直线

P A

与直线

P B

的斜率之积为

- 2

.
(1) 证明: 直线

A B

过定点;
(2) 过

A 、 B

分别作抛物线准线的垂线, 垂足分别为

C 、 D

, 问: 是否存在一点

P

使得

A 、 C 、 P 、 D

四点共圆? 若存在, 求所有满足条件的

P

点; 若不存在, 请说明理由.

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13. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的准线与

x

轴的交点为

H

, 直线过抛物线

C

的焦点

F

且
与

C

交于

A, B

两点,

△ H A B

的面积的最小值为 4 .
(1) 求抛物线

C

的方程;
(2) 若过点

Q (\frac{17}{4}, 1)

的动直线

l

交

C

于

M, N

两点, 试问抛物线

C

上是否存在定点

E

, 使得对任意的直线

l

, 都有

E M ⊥ E N

, 若存在, 求出点

E

的坐标; 若不存在, 则说明理由.

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14. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

上一点

M (3, t)

到准线的距离为 4 , 焦点为

F

, 坐标原点为

O

, 直线

l

与抛物线

C

交于

A, B

两点 (与

O

点均不重合).
(1) 求抛物线

C

方程;
(2) 若以

A B

为直径的圆过原点

O

, 求

△ A B F

与

△ B O F

的面积之和的最小值.

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15. 在平面直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

满足参数方程为

{\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{cases}

～

α

为参数,

α \in [- π, 0]

). 以坐标原点为极点,

x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线

l

的极坐标方程为

ρ \cos θ + ρ \sin θ - m = 0

.
(1) 求曲线

C

和直线

l

的直角坐标方程;
(2) 若直线

l

与曲线

C

交于

A, B

两点, 且

\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2

, 求实数

m

的值.

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16. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

.
请从下面三个①②③中选取两个作为条件补充到题中, 并完成下列问题.
①

b = \sqrt{3}

; ②离心率为 2; ③与椭圆

\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1

的焦点相同.
(1) 求

C

的方程;
(2) 直线

l : y = x - 3

与

C

交于

A, B

两点, 求

| A B |

的值.
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.

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17. 已知点

(4, 2)

在抛物线

C : x^{2} = 2 p y

上, 直线

l

与

C

交于

A, B

两点,

O

为坐标原点, 且

∠ A O B = 90^{\circ}

.
(1) 求抛物线

C

的焦点到准线的距离;
(2) 求

△ A O B

面积的最小值.

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