解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
曲线 $C$ 上任意一点到点 $M(-3,4)$ 的距离与到点 $N(-2,1)$ 的距离之比为 $\sqrt{2}$.
（1）试问曲线 $C$ 为何种曲线, 说明你的理由;
(2) 过直线 $l: x+y-5=0$ 上一点 $E$ 向曲线 $C$ 作一条切线, 切点为 $F$, 求 $|E F|$ 的最小值.
已知圆心为 $M$ 的圆经过 $A(-2,6), B(6,0), C(-8,-2)$ 这三个点.
(1) 求圆 $M$ 的标准方程;
(2) 直线 $l$ 过点 $P(4,6)$, 若直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长为 10 , 求直线 $l$ 的方程.
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 㐫心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F_1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, $A B$ 的中点坐标为 $\left(-\frac{12}{7}, \frac{4}{7}\right)$.
(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 求 $\triangle A F_2 B$ 的面积.
已知椭圆 $C_{:} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-4}=1(a>2)$ 过点 $\left(\frac{5}{4}, \frac{9}{4}\right), F_1, F_2$ 分别为左、右焦点, $P$ 为第一象限内 楉圆 $C$ 上的动点, 直线 $P F_1, P F_2$ 与直线 $x=t(t>0)$ 分別交于 $A, B$ 两点, 记 $\triangle P A B$ 和 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积分别为 $S_1, S_2$.
(1) 试确定实数 $t$ 的值, 使得点 $P$ 到 $F_2$ 的距为与到直线 $x=t$ 的距㝑之比为定值 $k$, 并求出 $k$ 的值;
(2) 在 (1)的条件下, 若 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{25}{9}$, 求 $\frac{|P A|\left|P F_1\right|}{P B\left|P F_2\right|}$ 的值.
已知双曲线 $C_: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 实轴长为 $2 \sqrt{3}$, 一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x-3 y=0$, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(12 已知$P(-\sqrt{5},0)$ 若三角形ABP的外心$Q$的横坐标为0，请直线l的方程
在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 角 $a, \beta, \gamma(a, \beta, \gamma \in(0,2 \pi))$ 的 顺点在原点, 始边
均与 $\mathrm{x}$ 轴正半轴重合, 角 $a$ 的终边经过点 $\mathrm{A}(-1,2)$, 角 $\beta$ 的终边 烃过点 B $(3,4)$.
(I) 求 $\tan (a-\beta)$ 的值;
(II) 若角 $y$ 的终边为 $\angle A O B$ (锐角) 的平分线, 求 $\sin ^2 Y$ 的值.