解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $\Gamma: y^2=4 x ， F$ 为 $\Gamma$ 的焦点. $A, B$ 为 $\Gamma$ 上的两个不重合的动点，使得线段 $A B$ 的一个三等分点 $P$ 位于线段 $O F$ 上 (含端点). 记 $Q$ 为线段 $A B$的另一个三等分点，求点 $Q$ 的轨迹方程.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离, 记动点 $P$ 的轨迹为 $W$.
(1)求 $W$ 的方程;
(2)已知矩形$ABCD$有三个顶点在$W$上，证明：矩形$ABCD$的周长大于$3\sqrt{2}$
已知直线 $l: 2 x-3 y+1=0$, 点 $A(-1,-2)$. 求:
(1) 点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{\prime}$ 的坐标;
(2) 直线 $m: 3 x-2 y-6=0$ 关于直线 $l$ 的对称直线 $m^{\prime}$ 的方程;
(3) 直线 $l$ 关于点 $A$ 对称的直线 $l^{\prime}$ 的方程.
求满足下列条件的直线的方程:
(1) 直线 $l$ 经过两条直线 $2 x+y-8=0$ 和 $x-2 y+1=0$ 的交点, 且平行于直线 $4 x-3 y-7=0$. 求直线 $l$ 的方程;
(2) 已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A(5,1)$, 边 $A B$ 上的中线 $C M$ 所在直线方程为 $2 x-y-5=0$, 边 $A C$ 上的高 $B H$ 所在直线方程为 $x-2 y-5=$ 0 , 求直线 $B C$ 的方程.
已知 $x^2+y^2-4 x+2 m y+2 m^2-2 m+1=0(m \in R)$ 表示圆 $C$ 的方程.
(1) 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 当圆 $C$ 的面积最大时, 求过点 $A(4,-4)$ 圆的切线方程;
(3) $P$ 为圆上任意一点, 已知 $B(6,0)$, 在 (2) 的条件下, 求 $|P A|^2+|P B|^2$ 的最小值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F(2,0)$, 一条渐进线方程为
$$
y=\sqrt{3} x
$$
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在与 $F$ 不重合的点 $P$, 使得当过点 $F$ 的直线与 $C$ 的右支交于 $A$, $B$ 两点时, $\frac{|A F|}{|B F|}=\frac{|A P|}{|B P|}$ 总成立? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.