圆锥曲线01-数学组卷-自助组卷

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圆锥曲线01

数学

一、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 平面直角坐标系

x O y

中，抛物线

Γ : y^{2} = 4 x ， F

为

Γ

的焦点.

A, B

为

Γ

上的两个不重合的动点，使得线段

A B

的一个三等分点

P

位于线段

O F

上 (含端点). 记

Q

为线段

A B

的另一个三等分点，求点

Q

的轨迹方程.

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2. 在直角坐标系

x O y

中, 点

P

到

x

轴的距离等于点

P

到点

(0, \frac{1}{2})

的距离, 记动点

P

的轨迹为

W

.
(1)求

W

的方程;
(2)已知矩形

A B C D

有三个顶点在

W

上，证明：矩形

A B C D

的周长大于

3 \sqrt{2}

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3. 已知直线

l : 2 x - 3 y + 1 = 0

, 点

A (- 1, - 2)

. 求:
(1) 点

A

关于直线

l

的对称点

A^{'}

的坐标;
(2) 直线

m : 3 x - 2 y - 6 = 0

关于直线

l

的对称直线

m^{'}

的方程;
(3) 直线

l

关于点

A

对称的直线

l^{'}

的方程.

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4. 求满足下列条件的直线的方程:
(1) 直线

l

经过两条直线

2 x + y - 8 = 0

和

x - 2 y + 1 = 0

的交点, 且平行于直线

4 x - 3 y - 7 = 0

. 求直线

l

的方程;
(2) 已知

△ A B C

的顶点

A (5, 1)

, 边

A B

上的中线

C M

所在直线方程为

2 x - y - 5 = 0

, 边

A C

上的高

B H

所在直线方程为

x - 2 y - 5 =

0 , 求直线

B C

的方程.

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5. 已知

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 m y + 2 m^{2} - 2 m + 1 = 0 (m \in R)

表示圆

C

的方程.
(1) 求实数

m

的取值范围;
(2) 当圆

C

的面积最大时, 求过点

A (4, - 4)

圆的切线方程;
(3)

P

为圆上任意一点, 已知

B (6, 0)

, 在 (2) 的条件下, 求

| P A |^{2} + | P B |^{2}

的最小值.

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6. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的右焦点为

F (2, 0)

, 一条渐进线方程为

y = \sqrt{3} x

(1) 求

C

的方程;
(2) 在

x

轴上是否存在与

F

不重合的点

P

, 使得当过点

F

的直线与

C

的右支交于

A

,

B

两点时,

\frac{| A F |}{| B F |} = \frac{| A P |}{| B P |}

总成立? 若存在, 求出点

P

的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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7. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)

的左右焦点分别为

F_{1}, F_{2}, C

是椭圆的中心, 点

M

为其上的一点满足

| M F_{1} | \cdot | M F_{2} | = 5, | M C | = 2

.
(1) 求棚圆

C

的方程;
(2) 设定点

T (t, 0)

, 过点

T

的直线

l

交椭圆

C

于

P, Q

两点, 若在

C

上存在一点

A

, 使得直线

A P

的斜率与直线

A Q

的斜率之和为定值, 求

t

的范围.

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8. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1

, 直线

l

过双曲线

C

的右焦点

F

且交右支于

A, B

两点, 点

S

为线段

A B

的中点, 点

T

在

x

轴上,

S T ⊥ A B

.
(I) 求双曲线

C

的渐近线方程;
(II) 若

\vec{T S} \cdot \vec{T B} = \frac{80}{9}

, 求直线

l

的方程.

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9. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (0 < p < 5)

上一点

M

的纵坐标为 3 , 点

M

到焦点距离为 5 .
(1) 求抛物线

C

的方程;
(2) 过点

(1, 0)

作直线交

C

于

A, B

两点, 过点

A, B

分别作

C

的切线

l_{1}

与

l_{2}, l_{1}

与

l_{2}

相交于点

D

, 过点

A

作直线

l_{3}

垂直于

l_{1}

, 过点

B

作直线

l_{4}

垂直于

l_{2}, l_{3}

与

l_{4}

相交于点

E

,

l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3} 、 l_{4}

分别与

x

轴交于点

P 、 Q 、 R 、 S

. 记

△ D P Q 、 △ D A B 、 △ E A B 、 △ E R S

的面积分别为

S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 S_{4}

. 若

S_{1} S_{2} = 4 S_{3} S_{4}

, 求直线

A B

的方程.

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10. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的焦距为

2 \sqrt{3}

, 且

\frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{17}{4}

.
(1)求

C

的方程;
(2)

A

是

C

的下顶点, 过点

P (4, 0)

的直线

l

与

C

相交于

M, N

两点,直线

l

的斜率小于 0 ,

△ A M N

的重心为

G, O

为坐标原点, 求直线

O G

斜率的最大值.

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11. 在平面直角坐标系中, 已知点

F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)

, 点

P

满足

| P F_{1} | - | P F_{2} | = 2

, 记点

P

的轨迹为

Γ

.
(1) 求

Γ

的方程及其渐近线的方程;
(2) 设直线

l

与

Γ

交于点

A, B

, 与

Γ

的渐近线交于点

C, D

, 求

| A C | \cdot | A D |

的取值范围.

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12. 设双曲线

x^{2} - y^{2} = 1

上一点

P, O

为原点, 若直线

OP

上一点

Q

, 满足

O P \times O Q = 1

, 求

Q

点轨迹方程。

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13. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{1}{2}

, 且抛物线

y^{2} = 4 x

的焦点恰好是椭圆

C

的一个焦点.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 与圆

x^{2} + y^{2} = 2

相切的直线

l : y = k x + t

交椭圆

C

于

M, N

两点, 若椭圆上存在点

P

满足

\vec{O P} = μ (\vec{O M} +

\vec{O N}) (μ > 0), O

为坐标原点, 求四边形

O M P N

面积的取值范围.

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14. 设动圆

M

与圆

F_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

外切, 与圆

F_{2} : (x - 1)^{2} + y^{2} = \frac{49}{4}

内切.
( I ) 求点

M

的轨迹

C

的方程;
(II) 过点

F_{2}

且不与

x

轴垂直的直线

l

交轨迹

C

于

A, B

两点, 点

A

关于

x

轴的对称点为

A^{'}, Q

为

△ A A^{'} B

的外心, 试探究

\frac{| Q F_{2} |}{| A B |}

是否为定值, 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.

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15. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右顶点分别为

A_{1}, A_{2}

, 右焦点为

F

，已知

\vec{A_{1} F} = 3 \vec{F A_{2}}

.
(1)求椭圆的离心率.
(2)已知椭圆右焦点

F

的坐标为

(1, 0), P

是椭圆在第一象限的任意一点，且直线

A_{2} P

交

y

轴于点

Q

. 若

△ A_{1} P Q

的面积与

△ A_{2} F P

的面积相等,求直线

A_{2} P

的斜率.

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16. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F

, 点

P

是椭圆与

x

轴正半轴的交点, 点

Q

是椭圆与

y

轴正半轴的交点, 且

| F Q | = \sqrt{2}, | P F | = \sqrt{2} - 1

. 直线

l

过圆

O : x^{2} + y^{2} = 1

的圆心, 并与椭圆相交于

A, B

两点, 过点

A

作圆

O

的一条切线, 与椭圆的另一个交点为

C

,且.

S_{△ A B C} = \frac{4}{3}

.
(1) 求椭圆的方程;
(2)求直线

A C

的斜率.

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17. 已知直线

l : y = k x - 2

与抛物线

E : x^{2} = 2 p y (p > 0)

交于

A, B

两点,

F

为

E

的焦点,直线

F A, F B

的斜率之和为 0 .
(1) 求

E

的方程;
(2) 直线

F A, F B

分别交直线

y = - 2

于

M, N

两点, 若

| M N | ⩾ 16

, 求

k

的取值范围.

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18. 已知拋物线

C : y^{2} = 4 x

的焦点为

F

, 过

F

的直线

l

交

C

于

A, B

两点, 过

F

与

l

垂直的直线交

C

手

D, E

两点, 其中

B, D

在

x

轴上方,

M, N

分别为

A B, D E

的中点.
(1) 证明：直线

M N

过定点;
(2) 设

G

为直线

A E

与直线

B D

的交点, 求

△ G M N

面积的最小值.

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19. 坐标空间中, 设 O 为原点, E 为平面

x - z = 4

。已知空间中有一点

P (a, b, c)

满足向量

\vec{O P}

与向量

(1, 0, 0)

的夹角

θ \leq \frac{π}{6}

。
(1) 试说明实数

a, b, c

满足不等式

a^{2} \geq 3 (b^{2} + c^{2})

。
(2)已知点

P

在平面

E

上且

b = 0

。试求

c

的最大可能范围, 并求线段

\overset{―}{O P}

的最小可能长度。

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20. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F (2, 0)

, 点

M (\sqrt{6}, 1)

在椭圆上.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 直线

l : y = k x + m

与

C

相交于

A, B

两点, 若直线

A F, B F

的倾斜角互补, 求

△ A B F

面积的最大值.

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