圆锥曲线03-数学组卷-自助组卷

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圆锥曲线03

数学

一、解答题（共 20 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

的右焦点为

F (3, 0), F

到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线

C

的方程;
(2) 过

F

的直线交曲线

C

于

A, B

两点 (其中

A

在第一象限), 交直线

x = \frac{5}{3}

于点

M

,
(i) 求

\frac{| A F | \cdot | B M |}{| A M | \cdot | B F |}

的值;
(ii) 过

M

平行于

O A

的直线分别交直线

O B 、 x

轴于

P, Q

, 证明:

| M P | = | P Q |

.

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2. 抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

上的点

M (1, y_{0})

到抛物线

C

的焦点

F

的距离为

2, A 、 B

(不与

O

重合) 是抛物线

C

上两个动点, 且

O A ⊥ O B

.
(1) 求抛物线

C

的标准方程;
(2)

x

轴上是否存在点

P

使得

∠ A P B = 2 ∠ A P O

? 若存在, 求出点

P

的坐标, 若不存在, 说明理由.

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3. 已知

F_{1}, F_{2}

为椭圆

C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

的左右焦点,

P

为椭圆

C

上一点. 若

△ P F_{1} F_{2}

为直角三角形, 且

| P F_{1} | ⩾ | P F_{2} |

.
(1) 求

\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}

的值;

(2) 若直线

l : y = k x + m (k \neq 0)

与椭圆

C

交于

A, B

两点, 线段

A B

的垂直平分线经过点

N (0, - \frac{1}{2})

, 求实数

m

的取值范围.

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4. 过点

(4, 2)

的动直线

l

与双曲线

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

交于

M, N

两点, 当

l

与

x

轴
平行时,

| M N | = 4 \sqrt{2}

, 当

l

与

y

轴平行时,

| M N | = 4 \sqrt{3}

.
(1) 求双曲线

E

的标准方程;
(2) 点

P

是直线

y = x + 1

上一定点, 设直线

P M, P N

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}

, 若

k_{1} k_{2}

为定值, 求点

P

的坐标.

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5. 已知圆

A_{1} : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16

, 直线

l_{1}

过点

A_{2} (1, 0)

且与圆

A_{1}

交于点

B, C, B C

中点为

D

, 过

A_{2} C

中点

E

且平行于

A_{1} D

的直线交

A_{1} C

于点

P

, 记

P

的轨迹为

Γ

.
(1) 求

Γ

的方程;
(2) 坐标原点

O

关于

A_{1}, A_{2}

的对称点分别为

B_{1}, B_{2}

, 点

A_{1}, A_{2}

关于直线

y = x

的对称点分别为

C_{1}, C_{2}

, 过

A_{1}

的直线

l_{2}

与

Γ

交于点

M, N

, 直线

B_{1} M, B_{2} N

相交于点

Q

. 请从下列结论中, 选择一个正确的结论并给予证明.
①

△ Q B_{1} C_{1}

的面积是定值;②

△ Q B_{1} B_{2}

的面积是定值:③

△ Q C_{1} C_{2}

的面积是定值.

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6. 在平面直角坐标系中,

M (- 3, 0), N (3, 0), P

为曲线

E

上一点, 直线

M P, N P

的斜率之积为

- \frac{5}{9}

.
(1)求曲线

E

的标准方程;
(2) 过点

F (2, 0)

作直线

l

交曲线

E

于

A, B

两点, 且点

A

位于

x

轴的上方, 记直线

M B, N A

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}

.
(1) 证明:

\frac{k_{1}}{k_{2}}

为定值;
(ii) 过点

B

作

B C

垂直

x

轴交曲线

E

于不同于点

A

的点

C

, 直线

A C

与

x

轴交于点

D

, 求

△ A D F

面积的最大值.

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7. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 点

A

在

C

上, 当

A F_{1} ⊥ x

轴时,

| A F_{1} | = \frac{1}{2}

; 当

| A F_{1} | = 2

时,

∠ F_{1} A F_{2} = \frac{2 π}{3}

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 已知斜率为 -1 的直线

l

与椭圆

C

交于

M, N

两点, 与直线

x = 1

交于点

Q

, 且点

M, N

在直线

x = 1

的两侧, 点

P (1, t) (t > 0)

. 若

| M P | \cdot | N Q | = | M Q | \cdot | N P |

, 是否存在到直线

l

的距离

d = \sqrt{2}

的

P

点? 若存在, 求

t

的值; 若不存在, 请说明理由.

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8. 在平面直角坐标系

x O y

中, 椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率

e = \frac{\sqrt{2}}{2}

, 且点

P (2, 1)

在椭圆

C

上.
(1) 求椭圆

C

的方程;
（2）若点

A 、 B

都在椭圆

C

上, 且

A B

中点

M

在线段

O P

(不包括端点) 上. 求

△ A O B

面积的最大值.

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9. 选修 4-1: 几何证明选讲如图,

A B

为圆

O

的直径,

P

为圆

O

外一点, 过

P

点作

P C ⊥ A B

于

C

, 交圆

O

于

D

点,

P A

交圆

O

于

E

点,

B E

交

P C

于

F

点.
(1) 求证:

∠ P = ∠ A B E

;
(2) 求证:

C D^{2} = C F \cdot C P

.

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10. 坐标系与参数方程在平面直角坐标系

x O y

中, 以原点

O

为极点,

O x

轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C_{1}

的方程为

{\begin{cases} x = \frac{1}{\tan φ} \\ y = \frac{1}{\tan^{2} φ} \end{cases}

(

φ

为参数), 曲线

C_{2}

的极坐标方程为:

ρ (\cos θ + \sin θ) = 1

, 若曲线

C_{1}

与

C_{2}

相交于

A 、 B

两点.
（1）求

| A B |

的值;
（2）求点

M (- 1, 2)

到

A 、 B

两点的距离之积.

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11. 已知直线

l : x = \frac{1}{2}

与点

F (2, 0)

, 过直线

l

上的一动点

Q

作直线

P Q ⊥ l

, 且点

P

满足

(\vec{P F} +

2 \vec{P Q}) \cdot (\vec{P F} - 2 \vec{P Q}) = 0

.
(1) 求点

P

的轨迹

C

的方程;
(2) 过点

F

作直线与

C

交于

A, B

两点, 设

M (- 1, 0)

, 直线

A M

与直线

l

相交于点

N

. 试问: 直线

B N

是否经过

x

轴上一定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.

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12. 已知抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 准线

l

与抛物线

C

的对称轴的交点为

K

, 点

D (2, t)

在抛物线

C

上, 且

| D K | = \sqrt{2} | D F |

.
(1) 求抛物线

C

的方程;
(2) 若直线

l_{1} : k x - y - 2 k = 0 (k > 0)

交抛物线

C

于

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}) (x_{1} > x_{2})

两点, 点

A

在

y

轴上的投影为

E

, 直线

A E

分别与直线

O B

(

O

为坐标原点) 交于点

Q

, 与直线

l_{2} : y = x

交于点

P

, 记

△ O A P

的面积为

S_{1}, △ O P Q

的面积为

S_{2}

, 求证:

S_{1} = S_{2}

.

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13. 已知圆

C_{1}

过点

(- 3, 0), (- 1, 2), (1, 0)

, 抛物线

C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)

过点

A (\frac{1}{4}, 1)

.
(1) 求圆

C_{1}

的方程以及抛物线

C_{2}

的方程;
(2) 过点

A

作抛物线

C_{2}

的切线

l

与圆

C_{1}

交于

P, Q

两点, 点

B

在圆

C_{1}

上, 且直线

B P, B Q

均为抛物线

C_{2}

的切线, 求满足条件的所有点

B

的坐标.

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14. 已知等轴双曲线的顶点

F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)

分别是椭圆

C

的左、右焦点, 且

x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}

是粗圆与双曲线某个交点的横坐标.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 设直线

l

与椭圆

C

相交于

A, B

两点, 以线段

A B

为直径的圆过椭圆的上顶点

M

, 求证: 直线

l

恒过定点.

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15. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = \cos^{k} t, \\ y = \sin^{k} t \end{cases}

(

t

为参数). 以坐标原点为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

4 ρ \cos θ - 16 ρ \sin θ + 3 = 0

.
(1) 当

k = 1

时,

C_{1}

是什么曲线?
(2) 当

k = 4

时, 求

C_{1}

与

C_{2}

的公共点的直角坐标.

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16.

P

为圆

A : (x + 2)^{2} + y^{2} = 36

上一动点, 点

B

的坐标为

(2, 0)

, 线段

P B

的垂直平分线交直线

A P

于点

Q

.
(1)求点

Q

的轨迹方程

C

;
(2) 在 (1) 中曲线

C

与

x

轴的两个交点分别为

A_{1}

和

A_{2}, M 、 N

为曲线

C

上异于

A_{1} 、 A_{2}

的两点, 直线

M N

不过坐标原点, 且不与坐标轴平行. 点

M

关于原点

O

的对称点为

S

, 若直线

A_{1} S

与直线

A_{2} N

相交于点

T

, 直线

O T

与直线

M N

相交于点

R

, 证明: 在曲线

C

上存在定点

E

, 使得

△ R B E

的面积为定值, 并求该定值.

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17. 设抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 过

F

的直线交

C

于

M, N

两点,

| M N |_{min} = 4

.
(1)求

C

的方程;
(2)设点

D (2 p, 0)

, 直线

M D, N D

与

C

的另一个交点分别为

A, B

, 当直线

M N, A B

的斜率存在时, 分别记为

k_{1}, k_{2}

. 则

\frac{k_{1}}{k_{2}}

是否为常数, 请说明理由.

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18. 极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ^{2} + 2 ρ \cos θ - 4 = 0

.
(1) 把

C_{1}

的参数方程化为极坐标方程;
(2) 求

C_{1}

与

C_{2}

交点的极坐标

(ρ \geq 0, 0 \leq θ < 2 π)

.

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19. 已知双曲线

C

的中心为坐标原点, 左焦点为

(- 2 \sqrt{5}, 0)

, 离心率为

\sqrt{5}

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 记

C

的左、右顶点分别为

A_{1}, A_{2}

, 过点

(- 4, 0)

的直线与

C

的左支交于

M, N

两点,

M

在第二象限, 直线

M A_{1}

与

N A_{2}

交于点

P

. 证明: 点

P

在定直线上.

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20. 在平面直角坐标系

x O y

中, 点

P

到

x

轴的距离等于其到点

(0, \frac{1}{2})

的距离, 动点

P

的轨迹为

W

.
(1) 求

W

的方程:
(2) 若矩形

A B C D

上伯三个点在

W

上, 证明:

A B C D

的周长

> 3 \sqrt{3}

.

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圆锥曲线02 圆锥曲线01

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