解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(3,0), F$ 到其中一条渐近线的距离为 2 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 过 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点 (其中 $A$ 在第一象限), 交直线 $x=\frac{5}{3}$ 于点 $M$,
(i) 求 $\frac{|A F| \cdot|B M|}{|A M| \cdot|B F|}$ 的值;
(ii) 过 $M$ 平行于 $O A$ 的直线分别交直线 $O B 、 x$ 轴于 $P, Q$, 证明: $|M P|=|P Q|$.
抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 上的点 $M\left(1, y_0\right)$ 到抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 的距离为 $2, A 、 B$ (不与 $O$ 重合) 是抛物线 $C$ 上两个动点, 且 $O A \perp O B$.
(1) 求抛物线 $C$ 的标准方程;
(2) $x$ 轴上是否存在点 $P$ 使得 $\angle A P B=2 \angle A P O$ ? 若存在, 求出点 $P$ 的坐标, 若不存 在, 说明理由.
已知 $F_1, F_2$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左右焦点, $P$ 为椭圆 $C$ 上一点. 若 $\triangle P F_1 F_2$ 为直角三角形, 且 $\left|P F_1\right| \geqslant\left|P F_2\right|$.
(1) 求 $\frac{\left|P F_1\right|}{\left|P F_2\right|}$ 的值;
(2) 若直线 $l: y=k x+m(k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 线段 $A B$ 的垂直平分线经过点 $N\left(0,-\frac{1}{2}\right)$, 求实数 $m$ 的取值范围.
过点 $(4,2)$ 的动直线 $l$ 与双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 交于 $M, N$ 两点, 当 $l$ 与 $x$ 轴
平行时, $|M N|=4 \sqrt{2}$, 当 $l$ 与 $y$ 轴平行时, $|M N|=4 \sqrt{3}$.
(1) 求双曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 点 $P$ 是直线 $y=x+1$ 上一定点, 设直线 $P M, P N$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 若 $k_1 k_2$ 为定 值, 求点 $P$ 的坐标.
已知圆 $A_1:(x+1)^2+y^2=16$, 直线 $l_1$ 过点 $A_2(1,0)$ 且与圆 $A_1$ 交于点 $B, C, B C$ 中点为 $D$, 过 $A_2 C$ 中点 $E$
且平行于 $A_1 D$ 的直线交 $A_1 C$ 于点 $P$, 记 $P$ 的轨迹为 $\Gamma$.
(1) 求 $\Gamma$ 的方程;
(2) 坐标原点 $O$ 关于 $A_1, A_2$ 的对称点分别为 $B_1, B_2$, 点 $A_1, A_2$ 关于直线 $y=x$ 的对称点分别为 $C_1, C_2$, 过 $A_1$ 的直线 $l_2$ 与 $\Gamma$ 交于点 $M, N$, 直线 $B_1 M, B_2 N$ 相交于点 $Q$. 请从下列结论中, 选择一个正确的结论并给予 证明.
①$\triangle Q B_1 C_1$ 的面积是定值;② $\triangle Q B_1 B_2$ 的面积是定值:③$\triangle Q C_1 C_2$ 的面积是定值.
在平面直角坐标系中, $M(-3,0), N(3,0), P$ 为曲线 $E$ 上一点, 直线 $M P, N P$ 的斜率之积为 $-\frac{5}{9}$.
(1)求曲线 $E$ 的标准方程;
(2) 过点 $F(2,0)$ 作直线 $l$ 交曲线 $E$ 于 $A, B$ 两点, 且点 $A$ 位于 $x$ 轴的上 方, 记直线 $M B, N A$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$.
(1) 证明: $\frac{k_1}{k_2}$ 为定值;
(ii) 过点 $B$ 作 $B C$ 垂直 $x$ 轴交曲线 $E$ 于不同于点 $A$ 的点 $C$, 直线 $A C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$, 求 $\triangle A D F$ 面积的最大值.