解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
直线 $x-2 y+1=0$ 与 $y^2=2 p x(p>0)$ 交与 $A ， B$ 两点， $|A B|=4 \sqrt{15}$
(1) 求 $P$ 的值;
(2) $F$ 为 $y^2=2 p x$ 的焦点， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为抛物线上的两点，且 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值
选修 4-4：坐标系与参数方程
已知 $p(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha, \\ 1+t \sin \alpha,\end{array}\right.$ ( t为参数)， $\mid$ 与x轴， y轴正半轴交于A，B 两点， $|P A| \cdot|P B|=4$
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 以原点为极点，难正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程
已知椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $M N$ 的 中点为定点.
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$.
(1) 当 $a=-1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 是否存在 $a, b$, 使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x=b$ 对称, 若存在, 求 $a, b$ 的值, 若不存在, 说明理由.
(3) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值, 求 $a$ 的取值范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\left(\alpha\right.\right.$ 为参数, $\left.\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$.
(1) 写出 $C_1$ 的直角坐标方程;
(2) 若直线 $y=x+m$ 既与 $C_1$ 没有公共点, 也与 $C_2$ 没有公共点,求 $m$ 的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过点 $F_1$ 的直线与椭圆相交 于点 $A, B$, 且 $\triangle F_2 A B$ 的周长为 8 .
(1)求粗圆的标准方程;
(2) 椭圆 $C$ 的左, 右顶点分别为 $A_1, A_2$, 上顶点为 $D$, 若过 $A_2$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在第一象限相 交于点 $Q$, 与直线 $A_1 D$ 相交于点 $P$, 与 $y$ 轴相交于点 $M$, 且满足 $\left|P A_2\right| \cdot|M Q|=5\left|Q A_2\right| \cdot|M P|$, 求直线 $l$ 的方 程.