直线 $x-2 y+1=0$ 与 $y^2=2 p x(p>0)$ 交与 $A ， B$ 两点， $|A B|=4 \sqrt{15}$
(1) 求 $P$ 的值;
(2) $F$ 为 $y^2=2 p x$ 的焦点， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为抛物线上的两点，且 $\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$ ，求 $\triangle M N F$ 面积的最小值
选修 4-4：坐标系与参数方程
已知 $p(2,1)$ ，直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t \cos \alpha, \\ 1+t \sin \alpha,\end{array}\right.$ ( t为参数)， $\mid$ 与x轴， y轴正半轴交于A，B 两点， $|P A| \cdot|P B|=4$
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 以原点为极点，难正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程
已知椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $M N$ 的 中点为定点.
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$.
(1) 当 $a=-1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 是否存在 $a, b$, 使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x=b$ 对称, 若存在, 求 $a, b$ 的值, 若不存在, 说明理由.
(3) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值, 求 $a$ 的取值范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\left(\alpha\right.\right.$ 为参数, $\left.\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$.
(1) 写出 $C_1$ 的直角坐标方程;
(2) 若直线 $y=x+m$ 既与 $C_1$ 没有公共点, 也与 $C_2$ 没有公共点,求 $m$ 的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过点 $F_1$ 的直线与椭圆相交 于点 $A, B$, 且 $\triangle F_2 A B$ 的周长为 8 .
(1)求粗圆的标准方程;
(2) 椭圆 $C$ 的左, 右顶点分别为 $A_1, A_2$, 上顶点为 $D$, 若过 $A_2$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在第一象限相 交于点 $Q$, 与直线 $A_1 D$ 相交于点 $P$, 与 $y$ 轴相交于点 $M$, 且满足 $\left|P A_2\right| \cdot|M Q|=5\left|Q A_2\right| \cdot|M P|$, 求直线 $l$ 的方 程.
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左右顶点分别为 $A_1, A_2$, 右焦点为 $F$, 已知 $\left|A_1 F\right|=3,\left|A_2 F\right|=1$.
(1) 求椭圆方程及其离心率;
(2) 已知点 $P$ 是椭圆上一动点 (不与端点重合), 直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$, 若三角形 $A_1 P Q$ 的 面积是三角形 $A_2 F P$ 面积的二倍, 求直线 $A_2 P$ 的方程.
已知抛物线 $x^2=2 p y$, 点 $P(2, 8)$ 在抛物线上, 直线 $y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, $M$ 是线段 $A B$ 的中点, 过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.
(1) 求点 $P$ 到抛物线焦点的距离;
(2) 是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{N A} \cdot \overrightarrow{N B}=0$, 若存在, 求 $k$ 的值; 若不存在, 说明理由.
设双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 点 $O$ 为坐标原点, 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交 于 $A, B$ 两点.
(1) 当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时, $O A \perp O B$, 求 $C$ 的离心率;
(2) 当 $C$ 的焦距为 2 时, $\angle A O B$ 恒为锐角, 求 $C$ 的实轴长的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$, 且经过点 $A(\sqrt{6}, \sqrt{15})$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若过点 $M(3,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $N$, 求 $\triangle M N Q$ 面积的最大值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 点 $B$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, $\triangle B F_1 F_2$ 是等边三角形, $\triangle B F_1 F_2$ 的内切圆 的面积为 $\frac{\pi}{3}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 已知 $T$ 在 $x$ 轴负半轴上且 $|O T|=4\left|O F_1\right|$, 过 $T$ 的直线与椭圆交于 $M, N$ 两点, 求 $\triangle M N F_1$ 面积的最大值.
已知曲线 $\mathrm{E}$ 上任意一点 $\mathrm{Q}$ 到定点 $F(\sqrt{14}, 0)$ 的距离与 $\mathrm{Q}$ 到定直线 $m: x=\frac{9 \sqrt{14}}{14}$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{14}}{3}$.
(I) 求曲线 $\mathrm{E}$ 的轨迹方程:
(II) 斜率为 $k\left(k>\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$ 的直线 1 交曲线 $\mathrm{E}$ 于 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两点, 线段 $\mathrm{BC}$ 的中点为 $\mathrm{M}$, 点 $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{x}$ 轴下方, 直线 $O M$ 交曲线 $\mathrm{E}$ 于点 $\mathrm{N}$, 交直线 $x=-1$ 于点 $\mathrm{D}$, 且满足 $|O N|^2=|O D \| O M|$ (O 为原点). 求证: 直线 1 过定点.
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a, b>0)$ 的渐近线方程为 $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, 左焦点为 $F(-2,0)$.
(1) 求双曲线 $C$ 的标准方程;
(2) 过点 $Q(2,0)$ 作直线 $l$ 与双曲线 $C$ 右支交于 $A, B$ 两点, 若 $\overrightarrow{A Q}=2 \overrightarrow{Q B}$, 求直线 $l$ 的方程.
已知圆 $C$ 经过点 $A(-1,0)$ 和 $B(5,0)$, 且圆心在直线 $x+2 y-2=0$ 上.
(1) 求圆 $C$ 的标准方程;
(2) 直线 $l$ 过点 $D(-1,1)$, 且与圆 $C$ 相切, 求直线 $l$ 的方程;
(3) 设直线 $l^{\prime}: x+\sqrt{3} y-1=0$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点, 点 $P$ 为圆 $C$ 上的一动点, 求 $\triangle P M N$ 的面积 $S$ 的最大值.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 点 $M\left(x_0, 4\right)$ 在 $C$ 上, 且 $|M F|=\frac{5 p}{2}$.
(1) 求点 $M$ 的坐标及 $C$ 的方程;
(2) 设动直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, 且直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率互为倒数, 试问直线 $l$ 是否恒过定点? 若过, 求 出该点坐标; 若不过, 请说明理由.
椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$, 右顶点为 $B$, 满足 $|A B|=4$, 且椭圆 $E$ 的离 心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程;
(2) 已知点 $T\left(t, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 的内部, 直线 $A T$ 和直线 $B T$ 分别与椭圆 $E$ 交于另外的点 $C$ 和点 $D$, 若 $\triangle C D T$ 的面积为 $\frac{1}{17}$, 求 $t$ 的值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x=\frac{3}{2}$ 的距离之比为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$. 记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程;
(2) 过点 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1, l_2, l_1$ 交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点, $l_2$ 交曲线 $C$ 于 $S, T$ 两点, 线段 $A B$ 的 中点为 $M$, 线段 $S T$ 的中点为 $N$. 证明:直线 $M N$ 过定点, 并求出该定点坐标.
已知点 $A$ 为圆 $C: x^2+y^2-2 \sqrt{10} x-6=0$ 上任意一点, 点 $B$ 的坐标为 $(-\sqrt{10}, 0)$, 线段 $A B$ 的垂直平分线与直线 $A C$ 交于点 $D$.
(1)求点 $D$ 的轨迹 $E$ 的方程;
(2)设轨迹 $c$ 与 $x$ 轴分别交于 $A_1 、 A_2$ 两点 ( $A_1$ 在 $A_2$ 的左侧), 过 $R(3,0)$ 的直线 $l$ 与轨 迹 $E$ 交于 $M 、 N$ 两点, 直线 $A_1 M$ 与直线 $A_2 N$ 的交于 $P$, 证明: $P$ 在定直线上.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 经过点 $A_1(2,0), A_2(4,0), A_3(2 \sqrt{2}, \sqrt{3}), A_4(2 \sqrt{2}$, $-\sqrt{3}), A_5(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 中的 3 个点.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 已知点 $M, N$ 是双曲线 $C$ 上与其顶点不重合的两个动点, 过点 $M, N$ 的直线 $l_1, l_2$ 都经过 双曲线 $C$ 的右顶点, 若直线 $l_1, l_2$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 且 $k_1+k_2=1$, 判断直线 $M N$ 是否 过定点. 若过定点, 求出该定点的坐标; 若不过定点, 请说明理由.
平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $\Omega$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴均相切，圆心在椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 内，且 $\Omega$ 与 $\Gamma$有唯一的公共点 $(8,9)$. 则 $\Gamma$ 的焦距为