圆锥曲线04-数学组卷-自助组卷

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圆锥曲线04

数学

一、解答题（共 18 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 且

| F_{1} F_{2} | = 2

. 过

F_{2}

的一条斜率存在且不为零的直线交

C

于

M, N

两点,

△ M N F_{1}

的周长为

4 \sqrt{2}

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 设

M

关于

x

轴的对称点为

P

, 直线

P N

交

x

轴于点

Q

, 过

Q

作

C

的一条切线, 切点为

T

. 证明:

∠ T F_{2} P = ∠ T F_{2} N

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2. 椭圆

Γ : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (m > 0, m \neq \sqrt{3})

(1) 若

m = 2

, 求椭圆

Γ

的离心率;
(2) 设

A_{1} 、 A_{2}

为椭圆

Γ

的左右顶点, 椭圆

Γ

上一点

E

的纵坐标为 1 , 且

\vec{E A_{1}} \cdot \vec{E A_{2}} = - 2

, 求

m

的值;
(3) 过椭圆

Γ

上一点

P

作斜率为

\sqrt{3}

的直线, 与双曲线

\frac{y^{2}}{5 m^{2}} - \frac{x^{2}}{5} = 1

有一个公共点, 求

m

的取值范围.

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3. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 且点

P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4})

在

C

上.
(1)求

C

的方程;
(2) 设

F_{1}, F_{2}

为

C

的左、右焦点, 过

F_{2}

的直线

l

交

C

于

A, B

两点, 若

△ A B F_{1}

内切圆的半径为

\frac{\sqrt{10}}{7}

, 求直线

l

的方程.

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4. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

, 过点

P (0, - 4)

的直线

l

与

C

相交于

A, B

两点. 当直线

l

经过点

F

时, 点

A

恰好为线段

P F

的中点.
(1) 求

C

的方程;
(2) 是否存在定点

T

, 使得

\vec{T A} \cdot \vec{T B}

为常数? 若存在, 求出点

T

的坐标及该常数; 若不存在, 说明理由.

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5. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 上顶点为

A

, 钝角三角形

A F_{1} F_{2}

的面积为

\sqrt{3}

, 斜率为

k

的直线

l

交椭圆

C

于

P, Q

两点. 当直线

l

经过

F_{1}, A

两点时, 点

F_{2}

到直线

l

的距离为

\sqrt{3}

.
(1)求椭圆

C

的标准方程;
(2) 设

O

为坐标原点, 当直线

l

的纵截距不为零时, 试问是否存在实数

k

, 使得

| \vec{P Q} |^{2} +

2 \vec{O P} \cdot \vec{O Q}

为定值? 若存在, 求出此时

△ O P Q

面积的最大值; 若不存在, 请说明理由.

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6. 已知线段

A B

的端点

B (4, 3)

, 端点

A

在圆

C : (x + 1)^{2} + y^{2} = 4

上运动.
(1) 点

M

在线段

A B

上, 且

\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}

, 求点

M

的轨迹方程;
(2) 若直线

y = k (x - 2)

与点

M

的轨迹相交, 求实数

k

的取值范围.

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7. 已知双曲线

C

的焦点

F (2, 0)

和离心率

e = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

.
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2) 若直线

1 : y = kx + \sqrt{2}

与曲线

C

恒有两个不同的交点

A

和

B

, 且

\vec{O A} \vec{O B} > 2

, 求

k

的取值范围.

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8. 已知椭圆

C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{1}{2}, P (1, \frac{3}{2})

为椭圆上一点,

A, B

为椭圆上不同两点,

O

为坐标原点,
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 线段

A B

的中点为

M

, 当

△ A O B

面积取最大值时, 是否存在两定点

G, H

, 使

| G M | + | H M |

为定值? 若存在, 求出这个定值; 若不存在, 请说明理由.

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9. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

过点

(1, \frac{\sqrt{6}}{2})

, 且离心率为

\frac{\sqrt{2}}{2}

.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 已知直线

l : y = m x + 2

与椭圆交于不同的两点

P, Q

, 那么在

x

轴上是否存在点

M

, 使

M P = M Q

且

M P ⊥ M Q

, 若存在, 求出该直线的方程; 若不存在, 请说明理由.

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10. 在平面直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

的参数方程为

{\begin{cases} x = \sqrt{3} (\sin θ - \cos θ), \\ y = \sqrt{2} (\sin θ + \cos θ), \end{cases}

点

O

为极点,

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线

l

的极坐标方程为

ρ \cos (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

.
(1) 求直线

l

和曲线

C

的直角坐标方程;
(2) 从原点

O

引一条射线分别交曲线

C

和直线

l

于

M, N

两点, 求

\frac{12}{| O M |^{2}} + \frac{1}{| O N |^{2}}

的最大值.

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11. 如图, 已知椭圆

\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1

. 设

A, B

是椭圆上异于

P (0, 1)

的两点, 且点

Q (0, \frac{1}{2})

在线段

A B

上, 直线

P A, P B

分别交直线

y = - \frac{1}{2} x + 3

于

C, D

两点.
(1) 求点

P

到椭圆上点的距离的最大值;
(2) 求

| C D |

的最小值.

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12. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x

, 点

A (1, 2)

在

C

上,

A

关于动点

T (t, 0) (t < 3)

的对称点记为

M

, 过

M

的直线

l

与

C

交于

P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), M

为

P, Q

的中点.
(1) 当直线

l

过坐标原点

O

时, 求

△ A P Q

外接圆的标准方程;
(2) 求

△ A P Q

面积的最大值.

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13. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

过点

A (4 \sqrt{2}, 3)

，且焦距为 10 .
(1) 求

C

的方程；
(2) 已知点

B (4 \sqrt{2}, - 3) ， D (2 \sqrt{2}, 0) ， E

为线段

A B

上一点，且直线

D E

交

C

于

G ， H

两
点.证明 :

\frac{| G D |}{| G E |} = \frac{| H D |}{| H E |}

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14. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的离心率为

\sqrt{2}

, 且点

A (2, 1)

在

C

上.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(2) 若点

M, N

在双曲线

C

上, 且

A M ⊥ A N

, 直线

M N

不与

y

轴平行, 证明: 直线

M N

的斜率

k

为定值.

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15. 选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

的参数方程为

{\begin{cases} x = 2 \cos θ, \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{cases}

(

θ

为参数), 以坐标原点

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 写出曲线

C

的极坐标方程;
(2)已知

A, B

是曲线

C

上的两点, 且

∠ A O B = \frac{π}{4}

, 求

\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}

的最大值.

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16. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 点

A (1, \frac{4 \sqrt{3}}{3})

在椭圆

C

上.
（1）求椭圆

C

的标准方程；
( 2 ) 过点

M (0, 3)

的直线

l

交椭圆

C

于

P, Q

两点,

O

为坐标原点, 求

△ O P Q

面积的最大值.

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17. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1

的上、下顶点分别为

A_{1} 、 A_{2}

, 点

P

是椭圆

C

上异于

A_{1} 、 A_{2}

的动点, 记

k_{1}, k_{2}

分别为直线

P A_{1}, P A_{2}

的斜率. 点

Q

满足

Q A_{1} ⊥ P A_{1}, Q A_{2} ⊥ P A_{2}

.
（1）证明：

k_{1} k_{2}

是定值, 并求出该定值;
(2) 求动点

Q

的轨迹方程.

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18. 已知双曲线

C

以

2 x \pm \sqrt{5} y = 0

为渐近线, 其上焦点

F

坐标为

(0, 3)

.
(1) 求双曲线

C

的方程;
(2) 不平行于坐标轴的直线

l

过

F

与双曲线

C

交于

P, Q

两点,

P Q

的中垂线交

y

轴于点

T

, 问

\frac{| T F |}{| P Q |}

是否为定值, 若是, 请求出定值, 若不是, 请说明理由.

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