已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 且 $\left|F_1 F_2\right|=2$. 过 $F_2$ 的 一条斜率存在且不为零的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, $\triangle M N F_1$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 过 $Q$ 作 $C$ 的一条切线, 切点为 $T$. 证明: $\angle T F_2 P=\angle T F_2 N$.
椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1(m>0, m \neq \sqrt{3})$
(1) 若 $m=2$, 求椭圆 $\Gamma$ 的离心率;
(2) 设 $A_1 、 A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点, 椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 1 , 且 $\overrightarrow{E A_1} \cdot \overrightarrow{E A_2}=-2$, 求 $m$ 的值;
(3) 过椭圆 $\Gamma$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线, 与双曲线 $\frac{y^2}{5 m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 有一个公共点, 求 $m$ 的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 设 $F_1, F_2$ 为 $C$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{7}$, 求直线 $l$ 的方程.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $P(0,-4)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 当直线 $l$ 经过点 $F$ 时, 点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 的中点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 是否存在定点 $T$, 使得 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}$ 为常数? 若存在, 求出点 $T$ 的坐标及该常数; 若不存在, 说明 理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上顶点为 $A$, 钝角三角形 $A F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 当直线 $l$ 经过 $F_1, A$ 两 点时, 点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$.
(1)求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 设 $O$ 为坐标原点, 当直线 $l$ 的纵截距不为零时, 试问是否存在实数 $k$, 使得 $|\overrightarrow{P Q}|^2+$ $2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值? 若存在, 求出此时 $\triangle O P Q$ 面积的最大值; 若不存在, 请说明 理由.
已知线段 $A B$ 的端点 $B(4,3)$, 端点 $\mathrm{A}$ 在圆 $C:(x+1)^2+y^2=4$ 上运动.
(1) 点 $M$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$, 求点 $M$ 的轨迹方程;
(2) 若直线 $y=k(x-2)$ 与点 $M$ 的轨迹相交, 求实数 $k$ 的取值范围.
已知双曲线 $\mathrm{C}$ 的焦点 $\mathrm{F}(2,0)$ 和离心率 $\mathrm{e}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2) 若直线 $1: \mathrm{y}=\mathrm{kx}+\sqrt{2}$ 与曲线 $\mathrm{C}$ 恒有两个不同的交点 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$, 且 $\overrightarrow{O A} \overrightarrow{O B}>2$, 求 $\mathrm{k}$ 的取值范围.
已知椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}, P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 为椭圆上一点, $A, B$ 为椭 圆上不同两点, $O$ 为坐标原点,
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 线段 $A B$ 的中点为 $M$, 当 $\triangle A O B$ 面积取最大值时, 是否存在两定点 $G, H$, 使 $|G M|+|H M|$ 为定值? 若存在, 求出这个定值; 若不存在, 请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 过点 $\left(1, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)$, 且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 已知直线 $l: y=m x+2$ 与椭圆交于不同的两点 $P, Q$, 那么在 $x$ 轴上是否存在点 $M$, 使 $M P=M Q$ 且 $M P \perp M Q$, 若存在, 求出该直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}(\sin \theta-\cos \theta), \\ y=\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta),\end{array}\right.$ 点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程;
(2) 从原点 $O$ 引一条射线分别交曲线 $C$ 和直线 $l$ 于 $M, N$ 两点, 求 $\frac{12}{|O M|^2}+\frac{1}{|O N|^2}$ 的最 大值.
如图, 已知椭圆 $\frac{x^2}{12}+y^2=1$. 设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点, 且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上, 直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点.
(1) 求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值;
(2) 求 $|C D|$ 的最小值.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x$, 点 $A(1,2)$ 在 $C$ 上, $A$ 关于动点 $T(t, 0)(t < 3)$ 的对称点记为 $M$, 过 $M$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right), M$ 为 $P, Q$ 的中点.
(1) 当直线 $l$ 过坐标原点 $O$ 时, 求 $\triangle A P Q$ 外接圆的标准方程;
(2) 求 $\triangle A P Q$ 面积的最大值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 过点 $A(4 \sqrt{2}, 3)$ ，且焦距为 10 .
(1) 求 $C$ 的方程 ；
(2) 已知点 $B(4 \sqrt{2},-3) ， D(2 \sqrt{2}, 0) ， E$ 为线段 $A B$ 上一点，且直线 $D E$ 交 $C$ 于 $G ， H$ 两
点.证明 : $\frac{|G D|}{|G E|}=\frac{|H D|}{|H E|}$.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$, 且点 $A(2,1)$ 在 $C$ 上.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 若点 $M, N$ 在双曲线 $C$ 上, 且 $A M \perp A N$, 直线 $M N$ 不与 $y$ 轴平行, 证明: 直线 $M N$ 的斜 率 $k$ 为定值.
选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta, \\ y=\sqrt{3} \sin \theta\end{array}\right.$ ( $\theta$ 为参数), 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1) 写出曲线 $C$ 的极坐标方程;
(2)已知 $A, B$ 是曲线 $C$ 上的两点, 且 $\angle A O B=\frac{\pi}{4}$, 求 $\frac{1}{|O A|^2}+\frac{1}{|O B|^2}$ 的最大值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 点 $A\left(1, \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)$ 在椭圆 $C$ 上.
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
( 2 ) 过点 $M(0,3)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点, $O$ 为坐标原点, 求 $\triangle O P Q$ 面积的最大值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的上、下顶点分别为 $A_1 、 A_2$, 点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A_1 、 A_2$ 的 动点, 记 $k_1, k_2$ 分别为直线 $P A_1, P A_2$ 的斜率. 点 $Q$ 满足 $Q A_1 \perp P A_1, Q A_2 \perp P A_2$.
（1）证明： $k_1 k_2$ 是定值, 并求出该定值;
(2) 求动点 $Q$ 的轨迹方程.
已知双曲线 $C$ 以 $2 x \pm \sqrt{5} y=0$ 为渐近线, 其上焦点 $F$ 坐标为 $(0,3)$.
(1) 求双曲线 $C$ 的方程;
(2) 不平行于坐标轴的直线 $l$ 过 $F$ 与双曲线 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, $P Q$ 的中垂线交 $y$ 轴于点 $T$, 问 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 是否为定值, 若是, 请求出定值, 若不是, 请说明理由.