解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 且 $\left|F_1 F_2\right|=2$. 过 $F_2$ 的 一条斜率存在且不为零的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点, $\triangle M N F_1$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P$, 直线 $P N$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 过 $Q$ 作 $C$ 的一条切线, 切点为 $T$. 证明: $\angle T F_2 P=\angle T F_2 N$.
椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1(m>0, m \neq \sqrt{3})$
(1) 若 $m=2$, 求椭圆 $\Gamma$ 的离心率;
(2) 设 $A_1 、 A_2$ 为椭圆 $\Gamma$ 的左右顶点, 椭圆 $\Gamma$ 上一点 $E$ 的纵坐标为 1 , 且 $\overrightarrow{E A_1} \cdot \overrightarrow{E A_2}=-2$, 求 $m$ 的值;
(3) 过椭圆 $\Gamma$ 上一点 $P$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线, 与双曲线 $\frac{y^2}{5 m^2}-\frac{x^2}{5}=1$ 有一个公共点, 求 $m$ 的取值范围.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 且点 $P\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{14}}{4}\right)$ 在 $C$ 上.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 设 $F_1, F_2$ 为 $C$ 的左、右焦点, 过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B F_1$ 内切圆的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{7}$, 求直线 $l$ 的方程.
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 过点 $P(0,-4)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点. 当直线 $l$ 经过点 $F$ 时, 点 $A$ 恰好为线段 $P F$ 的中点.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 是否存在定点 $T$, 使得 $\overrightarrow{T A} \cdot \overrightarrow{T B}$ 为常数? 若存在, 求出点 $T$ 的坐标及该常数; 若不存在, 说明 理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上顶点为 $A$, 钝角三角形 $A F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点. 当直线 $l$ 经过 $F_1, A$ 两 点时, 点 $F_2$ 到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{3}$.
(1)求椭圆 $C$ 的标准方程;
(2) 设 $O$ 为坐标原点, 当直线 $l$ 的纵截距不为零时, 试问是否存在实数 $k$, 使得 $|\overrightarrow{P Q}|^2+$ $2 \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 为定值? 若存在, 求出此时 $\triangle O P Q$ 面积的最大值; 若不存在, 请说明 理由.
已知线段 $A B$ 的端点 $B(4,3)$, 端点 $\mathrm{A}$ 在圆 $C:(x+1)^2+y^2=4$ 上运动.
(1) 点 $M$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\overrightarrow{A M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}$, 求点 $M$ 的轨迹方程;
(2) 若直线 $y=k(x-2)$ 与点 $M$ 的轨迹相交, 求实数 $k$ 的取值范围.