已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与圆 $x^2+y^2-4 y+3=0$ 相切, 则双曲线的 离心率为
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2, C$ 的下顶点为 $A$, 离心率为 $\frac{1}{2}$, 过 $F_2$ 且 垂直于 $A F_1$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点, $|D E|=8$, 则 $\triangle A D E$ 的周长为
已知点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 关于 $x$ 轴的对称点在曲线 $C: y=2 \sqrt{2 x}$ 上, 且过点 $P$ 的直线 $y=x-2$ 与曲线 $C$ 相交于点 $Q$, 则 $|P Q|=$
已知直线 $y=k x+b$ 为曲线 $f(x)=\ln x$ 的一条切线, 则 $k \cdot b$ 的取值范围为
已知圆 $(x-2)^2+y^2=9$ 与 $x$ 轴的交点分别为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的顶点和 焦点, 设 $F_1, F_2$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点, $P$ 为 $C$ 右支上任意一点, 则 $\frac{\left|P F_1\right|^2}{\left|P F_2\right|^2+4}$ 的 取值范围为
抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线交于点 $M, N$ (点 $N$ 在 $x$ 轴上 方), 点 $E$ 为坐标轴上 $F$ 右侧的一点, 已知 $|N F|=|E F|=3|M F|, S_{\triangle M N E}=3 \sqrt{3}$, 若点 $N$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线上, 则双曲线的离心率为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点为 $F$, 过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4 a}$ 的直线交双曲线于点 $A\left(x_1, y_1\right)$, 交双曲线的渐近线于点 $B\left(x_2, y_2\right)$ 且 $x_1 < 0 < x_2$. 若 $|F B|=3|F A|$, 则双曲线 的离心率是
设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1 A_2 \mathrm{~L} A_8$ 的边 $A_1 A_2$ 上, 则 $\overrightarrow{P A}_1^2+{\overrightarrow{P A_2}}^2+\cdots+\overrightarrow{P A}_8^2$ 的 取值范围是
若 $P ， Q$ 分别是抛物线 $x^2=y$ 与圆 $(x-3)^2+y^2=1$ 上的点，则 $|P Q|$ 的最小值为
已知抛物线 $C: x^2=2 y$, 直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 过 $A, B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_1, l_2$ 若 $l_1 \perp l_2$, 且 $l_1$ 与 $l_2$ 交于点 $M$, 则 $\triangle M A B$ 的面积的最小值为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 直线 $l: y=\sqrt{3} x$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点, 若 $A F \perp A B$, 则双曲线 $C$ 的离 心率是
已知圆 $O_1:(x-m)^2+(y+2)^2=9$ 与圆 $O_2:(x+n)^2+(y+2)^2=1$ 内切, 则 $m^2+n^2$ 的 最小值为
已知点 $M$ 为抛物线 $y^2=8 x$ 上的动点, 点 $N$ 为圆 $x^2+(y-4)^2=5$ 上的动点, 则点 $M$ 到 $y$ 轴的 距离与点 $M$ 到点 $N$ 的距离之和最小值为
已知 $A 、 B 、 C$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的三个点, $O$ 为坐标原点, $A 、 B$ 两点 关于原点对称, $A C$ 经过右焦点 $F$, 若 $|O \vec{A}|=|\overrightarrow{O F}|$ 且 $\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F C}$, 则该椭圆的离心 率是
过点 $A(0,1)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 于 $P_1, P_2$ 两点, 线段 $P_1 P_2$ 的 中点在直线 $x=\frac{1}{2}$ 上, 则实数 $k$ 的值为
已知直线 $l$ 与曲线 $y=e^x 、 y=2+\ln x$ 都相切, 则直线 $l$ 的方程为
直线 $l_1: y=2 x$ 和 $l_2: y=k x+1$ 与 $x$ 轴围成的三角形是等腰三角形, 写出满足条件的 $k$ 的 两个可能取值: 利 . (写对一个得 3 分, 写对两个得 5 分)
写出过点 $(2,0)$ 且被圆 $x^2-4 x+y^2-2 y+4=0$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ 的一条直线的方程
曲线 $y=\frac{e^{2 x-1}}{x^2}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ 处的切线方稆为
在平行四边形 $A B C D$ 中, 点 $A(0,0), B(-4,4), D(2,6)$. 若 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$, 则 $D M$ 的中点 $E$ 的坐标为
已知直线 $l$ 与拋物线 $C: y^2=4 x$ 交于点 $M$, $N$, 且 $O M \perp O N$. 若 $\triangle M O N$ 的面积为 $S$, 写 出一个满足 “ $16 \leqslant S \leqslant 32$ ” 的直线 $l$ 的方程
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1 、 F_2$, 点 $A 、 B$ 在椭圆 $C$ 上, 满足 $\overrightarrow{A F_2}$. $\overrightarrow{F_1 F_2}=0, \overrightarrow{A F_1}=\lambda \overrightarrow{F_1 B}$, 若椭圆 $C$ 的离心率 $e \in\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 则实数 $\lambda$ 取值范围为
已知圆 $x^2+y^2=a$ 与圆 $x^2+y^2+4 x+2 y+b=0$ 交于 $M, N$ 两点, 若 $|M N|=\frac{8 \sqrt{5}}{5}$, 则实数 $a$, $b$ 的一对值可以为 $a=$ ,$b=$ . (写出满足条件的一组即可)
若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 $A$, 与圆 $x^2+y^2=1$ 相切于点 $B$, 则 $|A B|=$
已知椭圆的中心在坐标原点, 右焦点与圆 $x^2+m y^2-6 m x-7=0$ 的圆心重合, 长轴长等于圆的直 径, 那么短轴长等于
若直线 $3 x-4 y+12=0$ 与两坐标轴交点为 $A, B$, 则以线段 $A B$ 为直径的圆的方程是
已知直线 $y=\sqrt{2} x$ 与双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 无交点, 则该双曲线离心率的最大值为
已知直线 $x-m y+1=0$ 与 $\odot C:(x-1)^2+y^2=4$ 交于 $A, B$ 两点, 写出满 足 $\triangle A B C$ 面积为 $\frac{8}{5} \geq$ 的 $m$ 的一个值
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$. 点 $A$ 在 $C$ 上. 点 $B$ 在 $y$ 轴上, $\overrightarrow{F_1 A} \perp \overrightarrow{F_1 B}, \overrightarrow{F_2 A}=-\frac{2}{3}-\overrightarrow{F_2 B}$, 则 $C$ 的离心率为