圆锥曲线07-数学组卷-自助组卷

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圆锥曲线07

数学

一、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知抛物线

C ： y^{2} = 3 x

的焦点为F，斜率为

\frac{3}{2}

的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若

| A F | + | B F | = 4

，求

l

的方程；

（2）若

\vec{A P} = 3 \vec{P B}

，求

| A B |

．

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2. 己知抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 且

F

与圆

M : x^{2} + (y + 4)^{2} = 1

上点的距离的最小值为

4 .

（1）求 p;
（2）若点

P

在

M

上,

PA, PB

是

C

的两条切线,

A, B

是切点, 求

△ PAB

的最大值.

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3. 已知圆

C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 16

, 点

F (- 1, 0), P

是圆

C

上一动点, 若线段

P F

的垂直平分线和

C P

相交于点

M

.
(1) 求点

M

的轨迹方程

E

.
(2)

A, B

是

M

的轨迹方程与

x

轴的交点 (点

A

在点

B

左边), 直线

G H

过点

T (4, 0)

与轨迹

E

交于

G, H

两点, 直线

A G

与

x = 1

交于点

N

, 求证: 动直线

N H

过定点.

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4. 双曲线的中心为原点

O

, 焦点在

x

轴上, 两条渐近线分别为

I_{1}, I_{2}

, 经过右焦点

F

垂直于

I_{1}

的直线分别交

l_{1}, I_{2}

于

A, B

两点. 已知

| \vec{O A} | 、 | \vec{A B} |

、

| \vec{OB} |

成等差数列, 且

\vec{BF}

与

\vec{FA}

同向.
（I）求双曲线的离心率;
（II ) 设

A B

被双曲线所截得的线段的长为 4 , 求双曲线的方程.

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5. 如图, 已知抛物线

E : y^{2} = x

与圆

M : (x - 4)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)

相交于

A 、 B 、 C 、 D

四个点.
( I ) 求

r

的取值范围;
(II ) 当四边形

A B C D

的面积最大时, 求对角线

A C 、 B D

的交点

P

的坐标.

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6. 设

F_{1}, F_{2}

分别是椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点, 过

F_{1}

斜率为 1 的直线

ℓ

与

E

相交于

A, B

两点, 且

| A F_{2} |, | A B |, | B_{2} |

成等差数列
(1) 求

E

的离心率;
(2) 设点

P (0, - 1)

满足

| P A | = | P B |

, 求

E

的方程.

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7. 在平面直角坐标系

x O y

中, 已知点

A (0, - 1)

, B 点在直线

y = - 3

上,

M

点满足

\vec{M B} / / \vec{O A}, \vec{M A} \cdot \vec{A B} = \vec{M B} \cdot \vec{B A}, M

点的轨迹为曲线

C

.
(I) 求 C 的方程;
(II )

P

为

C

上的动点,

I

为

C

在

P

点处的切线, 求

O

点到

l

距离的最小值.

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8. 设抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 准线为

I, A \in C

, 已知以

F

为圆心,

F A

为半径的圆

F

交 I 于

B, D

两点;
(1) 若

∠ B F D = 90^{\circ}, △ A B D

的面积为

4 \sqrt{2}

, 求

p

的值及圆

F

的方程;
(2) 若

A, B, F

三点在同一直线

m

上, 直线

n

与

m

平行, 且

n

与

C

只有一个公共点, 求坐标原点到

m, n

距离的比值.

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9. 已知圆

M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1

, 圆

N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9

, 动圆

P

与圆

M

外切并与圆

N

内切, 圆心

P

的轨迹为曲线

C

.
(I ) 求 C 的方程;
(II)

I

是与圆

P

, 圆

M

都相切的一条直线,

I

与曲线

C

交于

A, B

两点, 当圆

P

的半径最长时, 求

| A B |

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10. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C : y = \frac{x^{2}}{4}

与直线

I : y = k x + a (a > 0 ）

交于

M, N

两点.
( I ) 当

k = 0

时, 分別求

C

在点

M

和

N

处的切线方程.
(III)

y

轴上是否存在点

P

, 使得当

k

变动时, 总有

∠ O P M = ∠ O P N

? （说明理由 )

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11. 设圆

x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0

的圆心为

A

, 直线 | 过点

B (1, 0)

且与

x

轴不重合, I交圆

A

于

C, D

两点, 过

B

作

A C

的平行线交

A D

于点

E

.
(I) 证明

| E A | + | E B |

为定值, 并写出点

E

的轨迹方程;
(II) 设点

E

的轨迹为曲线

C_{1}

, 直线 I 交

C_{1}

于

M, N

两点, 过

B

且与 I 垂直的直线与圆

A

交于

P, Q

两点, 求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

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12. 已知椭圆

c : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

, 四点

P_{1} (1, 1), P_{2} (0, 1

P_{3} (- 1, \frac{\sqrt{3}}{2}), P_{4} (1, \frac{\sqrt{3}}{2})

中恰有三点在椭圆

C

上.
(1) 求 C 的方程;
(2) 设直线

∣

不经过

P_{2}

点且与

C

相交于

A, B

两点. 若直线

P_{2} A

与直线

P_{2} B

的斜率的和为

- 1

, 证明: 1过定点.

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13. 在直角坐标系

x O y

中, 曲线

C

的参数方程为

{\begin{cases} x = 3 \cos θ \\ y = \sin θ \end{cases}, (θ

为参数）, 直线

I

的参数方程为

{\begin{cases} x = a + 4 t, \\ y = 1 - t \end{cases}

(

t

为参数）.
(1) 若

a = - 1

, 求

C

与

I

的交点坐标;
(2) 若 C上的点到 I 距离的最大值为

\sqrt{17}

, 求

a

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14. 已知

A 、 B

分别为椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)

的左、右顶点,

G

为

E

的上顶点,

\vec{A G} \cdot \overset{―}{G B} = 8

P

为直线

x = 6

上的动点,

P A

与

E

的另一交点为

C, P B

与

E

的另一交点为

D

.
(1) 求

E

的方程;
(2) 证明: 直线

C D

过定点.

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15. 设抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

的焦点为

F

，点

D (p, 0)

, 过

F

的直线交

C

于

M, N

两点, 当直线

M D ⊥ x

轴时,

| M F | = 3

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 设直线

M D 、 N D

与

C

的另一个交点分别为

A, B

, 记直线

M N 、 A B

的倾斜角分别为

α, β

, 当

α - β

取得最大值时, 求直线

A B

的方程.

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16. 已知点

A (2, 1)

在双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1 (a > 1)

上, 直线

l

交

C

于

P, Q

两点, 直线

A P, A Q

的斜率之和为 0 .
(1) 求

l

的斜率;
(2) 若

\tan ∠ P A Q = 2 \sqrt{2}

, 求

△ P A Q

的面积.

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17. 如图, 椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左焦点为

F_{1}

, 右焦点为

F_{2}

, 离心率

e = \frac{1}{2}

, 过

F_{1}

的直线交椭圆于

A 、 B

两点, 且

△ A B F_{2}

的周长为 8 .
(1) 求椭圆

E

的方程;
(2) 设动直线

l : y = k x + m

与椭圆

E

有且只有一个公共点

P

, 且与直线

x = 4

相交于点

Q

, 试探究: 在

x

轴上是否存在定点

M

, 使得以

P Q

为直径的圆恒过点

M

? 若存在, 求出点

M

的坐标; 若不存在, 说明理由.

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18. 已知椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的一个顶点为

A (0, - 3)

, 右焦点为

F

, 且

| O A | = | O F |

, 其中

O

为原点.
(I) 求粗圆的方程;
(II) 已知点

C

满足

3 \vec{O C} = \vec{O F}

, 点

B

在椭圆上 (

B

异于椭圆的顶点), 直线

A B

与以

C

为圆心的圆相切于点

P

, 且

P

为线段

A B

的中点. 求直线

A B

的方程.

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19. 在平面直角坐标系

x O y

中，已知圆

C

的半径为1，圆心既在直线

y = 2 x - 4

上，也在直线

y = x - 1

上
（1）求圆

C

的方程
（2）过点

A (2, 4)

做圆

C

的切线，求切线方程

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