已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$, 焦距为 4 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程:
(2) 若直线 $l$ 过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $M$ 点, $O$
为坐标原点, 若 $\overrightarrow{M O}=\overrightarrow{O N}$, 求 $\triangle A B N$ 面积的取值范围.
如图, 己知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$, 点 $F$ 为焦点, 过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A 、 B$ 两点, 点 $C$ 在抛物线上, 使得 $\triangle A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上, 直 线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$.
(1) 求 $p$ 的值及抛物线的标准方程;
(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.
已知平面上动点 $Q(x, y)$ 到 $F(0,1)$ 的距离比 $Q(x, y)$ 到直线 $l: y=-2$ 的距离小 1 , 记动点 $Q(x$,
y) 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程.
（2）设点 $P$ 的坐标为 $(0,-1)$, 过点 $P$ 作曲线 $C$ 的切线, 切点为 $A$, 若过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $M$, $N$ 两点, 证明: $\angle A F M=\angle A F N$.
已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}(-\sqrt{2}, 0), F_{2}(\sqrt{2}, 0)$, 且 $C$ 过点 $E(\sqrt{2}, 1)$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $\mathrm{A}$ 为椭圆 $C$ 的右顶点, 直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 且 $P, Q$ 均不是 $C$ 的左, 右顶点, $M$ 为 $P Q$ 的
中点. 若 $\frac{|A M|}{|P Q|}=\frac{1}{2}$, 试探究直线 $l$ 是否过定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.
已知抛物线 $E$ 的顶点为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴, 且直线 $y=x+1$ 与 $E$ 相切.
(1) 求 $E$ 的方程.
(2) 设 $P$ 为 $E$ 的准线上一点, 过 $P$ 作 $E$ 的两条切线, 切点为 $A, B$, 直线 $A B$ 的斜率存在, 且 直线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $C, D$ 两点.
(1)证明: $P A \perp P B$.
(2)试问 $\frac{|P C| \cdot|A B|}{|P B| \cdot|C D|}$ 是否为定值? 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 短轴长为 2 .
(I) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
( II ) 在圆 $O: x^2+y^2=3$ 上取一动点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线, 切点分别记为 $M, N$, ( $P M$ 与 $P N$ 的斜率均存在), 直线 $P M, P N$ 分别与圆 $O$ 相交于异于点 $P$ 的 $A 、 B$ 两 点.
(i) 求证: $|A B|=2 \sqrt{3}$;
(ii) 求 $\triangle O M N$ 面积的取值范围.
已知 $A(-2 \sqrt{2}, 0), B(2 \sqrt{2}, 0)$, 直线 $P A, P B$ 的斜率之积为 $-\frac{3}{4}$, 记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.
(1)求 $C$ 的方程;
(2) 直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点, $O$ 为坐标原点, 若直线 $O M, O N$ 的斜率之和为 $-\frac{3}{4}$, 证明: $\triangle M O N$ 的面积为定值.
已知椭圆 $M: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点为 $F_1, F_2$, 且左焦点坐标为 $(-\sqrt{2}, 0), P$ 为 椭圆上的一个动点, $\angle F_1 P F_2$ 的最大值为 $\frac{\pi}{2}$.
(1)求椭圆 $M$ 的标准方程;
(2) 若过点 $(-2,-4)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 交于 $A, B$ 两点, 点 $N(2,0)$, 记直线 $N A$ 的斜率为 $k_1$, 直线 NB 的斜率为 $k_2$, 证明: $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=1$.
设 $F_1, F_2$ 分别是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0$ ) 的左、右焦点, $M$ 是 $C$ 上一点, $M F_2$ 与 $x$ 轴垂直, 直线 $M F_1$ 与与 $C$ 的另一个交点为 $N$, 且直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(1) 求椭圆 $\mathrm{C}$ 的离心率;
（2）设 $D(0,1)$ 是椭圆 $C$ 的上顶点, 过 $D$ 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 过点 $D$ 作线段 $A B$ 的垂线, 垂足为 $Q$, 判断在 $y$ 轴上是否存在定点 $R$, 使得 $|R Q|$ 的长度为定值? 并证明你的结论.
已知 $A(2,0), B(0,1)$ 是椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个顶点.
(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程;
(2) 过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C, D$, 与直线 $A B$ 交于点 $M$, 求 $\frac{|P M|}{|P C|}+\frac{|P M|}{|P D|}$ 的 值.
已知曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=\sqrt{3} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数), 以 $O$ 为极点, $x$ 轴的非负半轴为极轴, 建立 极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho=\frac{2}{1-\sin \theta}$.
(1) 求曲线 $C_1$ 的普通方程, 曲线 $C_2$ 的直角坐标方程;
(2) 设曲线 $C_1, C_2$ 的交点为 $A, B$, 求 $|A B|$ 的值.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上、顶点分 别为 $M, N, \triangle N F_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 四边形 $M F_2 N F_1$ 的四条边的平方和为 16 .
(1)求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 若 $a>b>1$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点, 且线段 $A B$ 的中点 $H$ 在直线 $x=$ $\frac{1}{2}$ 上, 求证: 线段 $A B$ 的垂直平分线与圆 $x^2+y^2=\frac{1}{4}$ 恒有两个交点.
设 $F$ 为椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点，过点 $F$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.
(1) 当 $\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F A}$ 时, 求 $|\overrightarrow{F A}|$;
(2) 在 $x$ 轴上是否存在异于 $F$ 的定点 $Q$, 使 $\frac{k_{Q A}}{k_{Q B}}$ 为定值 (其中 $k_{Q A}, k_{Q B}$ 分别为直线 $Q A, Q B$ 的斜率)? 若 存在, 求出 $Q$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
已知拋物线 $E: x^2=2 p y(p>0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 2 .
(1) 求拋物线 $E$ 的方程;
(2) 直线 $l: y=k x+1$ 与拋物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点, 若以 $A B$ 为直径的圆与 $x=6$ 相切, 求实 数 $k$ 的值.
已知抛物线 $C: x^2=2 p y(p>0)$, 点 $A(4,-1), P$ 为抛物线上的动点, 直线 $l$ 为抛物线的 准线, 点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $d,|P A|+d$ 的最小值为 5 .
(1) 求抛物线 $C$ 的方程;
(2) 直线 $y=k x+1$ 与拋物线相交于 $M, N$ 两点, 与 $y$ 轴相交于 $Q$ 点, 当直线 $A M, A N$ 的斜率存在, 设直线 $A M, A N, A Q$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3$ 是否存在实数 $\lambda$, 使得 $\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{\lambda}{k_3}$, 若存在, 求出 $\lambda$; 若不存在, 说明理由.
已知 $\triangle A B C$ 的定点 $A(3,-4), A B$ 边上的中线所在直线的方程为 $x-2 y+4=0, A C$ 边上的 高所在直线的方程为 $x-y+2=0$.
(1)求 $C$ 的坐标;
(2)求直线 $B C$ 的方程.