解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知双曲线 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$, 焦距为 4 .
(1) 求双曲线 $C$ 的方程:
(2) 若直线 $l$ 过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴交于 $M$ 点, $O$
为坐标原点, 若 $\overrightarrow{M O}=\overrightarrow{O N}$, 求 $\triangle A B N$ 面积的取值范围.
如图, 己知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$, 点 $F$ 为焦点, 过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A 、 B$ 两点, 点 $C$ 在抛物线上, 使得 $\triangle A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上, 直 线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$.
(1) 求 $p$ 的值及抛物线的标准方程;
(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.
已知平面上动点 $Q(x, y)$ 到 $F(0,1)$ 的距离比 $Q(x, y)$ 到直线 $l: y=-2$ 的距离小 1 , 记动点 $Q(x$,
y) 的轨迹为曲线 $C$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程.
（2）设点 $P$ 的坐标为 $(0,-1)$, 过点 $P$ 作曲线 $C$ 的切线, 切点为 $A$, 若过点 $P$ 的直线 $m$ 与曲线 $C$ 交于 $M$, $N$ 两点, 证明: $\angle A F M=\angle A F N$.
已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1}(-\sqrt{2}, 0), F_{2}(\sqrt{2}, 0)$, 且 $C$ 过点 $E(\sqrt{2}, 1)$.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 设 $\mathrm{A}$ 为椭圆 $C$ 的右顶点, 直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 且 $P, Q$ 均不是 $C$ 的左, 右顶点, $M$ 为 $P Q$ 的
中点. 若 $\frac{|A M|}{|P Q|}=\frac{1}{2}$, 试探究直线 $l$ 是否过定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.
已知抛物线 $E$ 的顶点为坐标原点, 对称轴为 $x$ 轴, 且直线 $y=x+1$ 与 $E$ 相切.
(1) 求 $E$ 的方程.
(2) 设 $P$ 为 $E$ 的准线上一点, 过 $P$ 作 $E$ 的两条切线, 切点为 $A, B$, 直线 $A B$ 的斜率存在, 且 直线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $C, D$ 两点.
(1)证明: $P A \perp P B$.
(2)试问 $\frac{|P C| \cdot|A B|}{|P B| \cdot|C D|}$ 是否为定值? 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 短轴长为 2 .
(I) 求椭圆 $C$ 的标准方程;
( II ) 在圆 $O: x^2+y^2=3$ 上取一动点 $P$ 作椭圆 $C$ 的两条切线, 切点分别记为 $M, N$, ( $P M$ 与 $P N$ 的斜率均存在), 直线 $P M, P N$ 分别与圆 $O$ 相交于异于点 $P$ 的 $A 、 B$ 两 点.
(i) 求证: $|A B|=2 \sqrt{3}$;
(ii) 求 $\triangle O M N$ 面积的取值范围.