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圆锥曲线06

数学

一、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的渐近线方程为

y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x

, 焦距为 4 .
(1) 求双曲线

C

的方程:
(2) 若直线

l

过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于

A, B

两点, 与

y

轴交于

M

点,

O

为坐标原点, 若

\vec{M O} = \vec{O N}

, 求

△ A B N

面积的取值范围.

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2. 如图, 己知点

F (1, 0)

为抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

, 点

F

为焦点, 过点

F

的直线交抛物线于

A 、 B

两点, 点

C

在抛物线上, 使得

△ A B C

的重心

G

在

x

轴上, 直线

A C

交

x

轴于点

Q

, 且

Q

在点

F

右侧. 记

△ A F G, △ C Q G

的面积为

S_{1}, S_{2}

.
(1) 求

p

的值及抛物线的标准方程;
(2) 求

\frac{S_{1}}{S_{2}}

的最小值及此时点

G

的坐标.

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3. 已知平面上动点

Q (x, y)

到

F (0, 1)

的距离比

Q (x, y)

到直线

l : y = - 2

的距离小 1 , 记动点

Q (x

,
y) 的轨迹为曲线

C

.
(1) 求曲线

C

的方程.
（2）设点

P

的坐标为

(0, - 1)

, 过点

P

作曲线

C

的切线, 切点为

A

, 若过点

P

的直线

m

与曲线

C

交于

M

,

N

两点, 证明:

∠ A F M = ∠ A F N

.

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4. 已知椭圆

C

的焦点为

F_{1} (- \sqrt{2}, 0), F_{2} (\sqrt{2}, 0)

, 且

C

过点

E (\sqrt{2}, 1)

.
(1) 求

C

的方程;
(2) 设

A

为椭圆

C

的右顶点, 直线

l

与椭圆

C

交于

P, Q

两点, 且

P, Q

均不是

C

的左, 右顶点,

M

为

P Q

的
中点. 若

\frac{| A M |}{| P Q |} = \frac{1}{2}

, 试探究直线

l

是否过定点? 若过定点, 求出该定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.

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5. 已知抛物线

E

的顶点为坐标原点, 对称轴为

x

轴, 且直线

y = x + 1

与

E

相切.
(1) 求

E

的方程.
(2) 设

P

为

E

的准线上一点, 过

P

作

E

的两条切线, 切点为

A, B

, 直线

A B

的斜率存在, 且直线

P A, P B

与

y

轴分别交于

C, D

两点.
(1)证明:

P A ⊥ P B

.
(2)试问

\frac{| P C | \cdot | A B |}{| P B | \cdot | C D |}

是否为定值? 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.

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6. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 短轴长为 2 .
(I) 求椭圆

C

的标准方程;
( II ) 在圆

O : x^{2} + y^{2} = 3

上取一动点

P

作椭圆

C

的两条切线, 切点分别记为

M, N

, (

P M

与

P N

的斜率均存在), 直线

P M, P N

分别与圆

O

相交于异于点

P

的

A 、 B

两点.
(i) 求证:

| A B | = 2 \sqrt{3}

;
(ii) 求

△ O M N

面积的取值范围.

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7. 已知

A (- 2 \sqrt{2}, 0), B (2 \sqrt{2}, 0)

, 直线

P A, P B

的斜率之积为

- \frac{3}{4}

, 记动点

P

的轨迹为曲线

C

.
(1)求

C

的方程;
(2) 直线

l

与曲线

C

交于

M, N

两点,

O

为坐标原点, 若直线

O M, O N

的斜率之和为

- \frac{3}{4}

, 证明:

△ M O N

的面积为定值.

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8. 已知椭圆

M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点为

F_{1}, F_{2}

, 且左焦点坐标为

(- \sqrt{2}, 0), P

为椭圆上的一个动点,

∠ F_{1} P F_{2}

的最大值为

\frac{π}{2}

.
(1)求椭圆

M

的标准方程;
(2) 若过点

(- 2, - 4)

的直线

l

与椭圆

M

交于

A, B

两点, 点

N (2, 0)

, 记直线

N A

的斜率为

k_{1}

, 直线 NB 的斜率为

k_{2}

, 证明:

\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = 1

.

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9. 设

F_{1}, F_{2}

分别是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0

) 的左、右焦点,

M

是

C

上一点,

M F_{2}

与

x

轴垂直, 直线

M F_{1}

与与

C

的另一个交点为

N

, 且直线

M N

的斜率为

\frac{\sqrt{2}}{4}

.
(1) 求椭圆

C

的离心率;
（2）设

D (0, 1)

是椭圆

C

的上顶点, 过

D

任作两条互相垂直的直线分别交椭圆

C

于

A, B

两点, 过点

D

作线段

A B

的垂线, 垂足为

Q

, 判断在

y

轴上是否存在定点

R

, 使得

| R Q |

的长度为定值? 并证明你的结论.

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10. 已知

A (2, 0), B (0, 1)

是椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两个顶点.
(1) 求椭圆

E

的标准方程;
(2) 过点

P (2, 1)

的直线

l

与椭圆

E

交于

C, D

, 与直线

A B

交于点

M

, 求

\frac{| P M |}{| P C |} + \frac{| P M |}{| P D |}

的值.

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11. 已知曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = t \\ y = \sqrt{3} t \end{cases}

(

t

为参数), 以

O

为极点,

x

轴的非负半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ = \frac{2}{1 - \sin θ}

.
(1) 求曲线

C_{1}

的普通方程, 曲线

C_{2}

的直角坐标方程;
(2) 设曲线

C_{1}, C_{2}

的交点为

A, B

, 求

| A B |

的值.

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12. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 上、顶点分别为

M, N, △ N F_{1} F_{2}

的面积为

\sqrt{3}

, 四边形

M F_{2} N F_{1}

的四条边的平方和为 16 .
(1)求椭圆

C

的方程;
(2) 若

a > b > 1

, 斜率为

k

的直线

l

交椭圆

C

于

A, B

两点, 且线段

A B

的中点

H

在直线

x =

\frac{1}{2}

上, 求证: 线段

A B

的垂直平分线与圆

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

恒有两个交点.

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13. 设

F

为椭圆

C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1

的右焦点，过点

F

且与

x

轴不重合的直线

l

交椭圆

C

于

A, B

两点.
(1) 当

\vec{B F} = 2 \vec{F A}

时, 求

| \vec{F A} |

;
(2) 在

x

轴上是否存在异于

F

的定点

Q

, 使

\frac{k_{Q A}}{k_{Q B}}

为定值 (其中

k_{Q A}, k_{Q B}

分别为直线

Q A, Q B

的斜率)? 若存在, 求出

Q

的坐标; 若不存在, 请说明理由.

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14. 已知拋物线

E : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点

F

到准线的距离为 2 .
(1) 求拋物线

E

的方程;
(2) 直线

l : y = k x + 1

与拋物线

E

交于

A, B

两点, 若以

A B

为直径的圆与

x = 6

相切, 求实数

k

的值.

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15. 已知抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

, 点

A (4, - 1), P

为抛物线上的动点, 直线

l

为抛物线的准线, 点

P

到直线

l

的距离为

d, | P A | + d

的最小值为 5 .
(1) 求抛物线

C

的方程;
(2) 直线

y = k x + 1

与拋物线相交于

M, N

两点, 与

y

轴相交于

Q

点, 当直线

A M, A N

的斜率存在, 设直线

A M, A N, A Q

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}, k_{3}

是否存在实数

λ

, 使得

\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{λ}{k_{3}}

, 若存在, 求出

λ

; 若不存在, 说明理由.

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16. 已知

△ A B C

的定点

A (3, - 4), A B

边上的中线所在直线的方程为

x - 2 y + 4 = 0, A C

边上的高所在直线的方程为

x - y + 2 = 0

.
(1)求

C

的坐标;
(2)求直线

B C

的方程.

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