已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^2=2 p x$ 上, 则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为
已知圆 $x^2+y^2-4 y-m=0$ 的面积为 $\pi$, 则 $m=$
过抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的射线与抛物线交于点 $A$, 与准线交于点 $B$, 若 $|A F|=2,|B F|=6$, 则 $p$ 的值为
过原点的一条直线与圆 $C:(x+2)^2+y^2=3$ 相切, 交曲线 $y^2=2 p x(p>0)$ 于点 $P$, 若 $|O P|=8$, 则 $p$ 的值为
若双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$, 则其渐近线方程为
设圆 $x^2+y^2=9$ 的弦 $A B$ 的中点坐标为 $(1,1)$, 直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $P$, 则 $|P A| \cdot|P B|=$
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 设 $P$ 是第一象限内椭 圆 $C$ 上的一点, $P F_1 、 P F_2$ 的延长线分别交椭圆于 $Q_1 、 Q_2$ 点。则 $\triangle P F_1 Q_2 、 \triangle P F_2 Q_1$ 的面积之差的最大值为
已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 和圆 $x^2+y^2-8 x+15=0$, 则圆心 $C$ 到双曲线渐近线的距离为
圆 $C_1: x^2+y^2=9$ 与圆 $C_2: x^2+y^2+x+2 y-4=0$ 的公共弦长为
已知抛物线 $C: y^2=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$, 准线 $l: x=-1$, 点 $M$ 在抛物线 $C$ 上, 点 $M$ 在直线 $l: x=-1$ 上的射影为 $A$, 且直线 $A F$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$, 则 $\triangle M A F$ 的面积为
圆心在直线 $x+y-1=0$ 上且与直线 $2 x-y-1=0$ 相切于点 $(1,1)$ 的圆的方程 是
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$, 上顶点为 $B$, 右焦点为 $F$, 且 $\triangle A B F$ 是等腰三角 形, 则椭圆 $C$ 的离心率为
已知点 $N(a, 2 \sqrt{3})(a>0)$ 在抛物线 $C: y^2=2 p x(0 < p < 2 a)$ 上, $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点, 圆 $N$ 与直线 $x=\frac{p}{2}$ 相交于 $A 、 B$ 两点, 与线段 $N F$ 相交于点 $R$, 且 $|A B|=2 \sqrt{5}|R F|$. 若 $R$ 是线段 $N F$ 上靠近 $F$ 的四等分点, 则抛物线 $C$ 的方程为
直线 $y=a$ 分别与直线 $y=2(x+1)$, 曲线 $y=x+\ln x$ 交于点 $A 、 B$, 则 $|A B|$ 的最小值 为
已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x}{n}+\ln m+3(m>1)$, 若曲线 $y=f(x)$ 的一条切线为直线 $l: 4 x-y+3=0$, 则 $\frac{m}{n}$ 的最小值为
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$. 点 $\mathrm{A}$ 在 $C$ 上, 点 $B$ 在 $y$ 轴上, $\overrightarrow{F_1 A} \perp \overrightarrow{F_1 B}, \overrightarrow{F_2 A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_2 B}$, 则 $C$ 的离心率为
在平面直角坐标系中, 动点 $P$ 到两条直线 $3 x-y=0$ 与 $x+3 y=0$ 的距离之和等于 4 , 则点 $P$ 到原点距离的取值范围为
已知圆 $E$ 的圆心为 $(a, 2)$, 直线 $l_1: x-y+1=0, l_2: x-y-1=0$ 与圆 $E$ 分别交于点 $A, B$ 与 $C, D$, 若四边形 $A B$ $C D$ 是正方形, 则圆 $E$ 的标准方程为
满足圆 $x^2+(y-4)^2=25$ 与 $(x-a)^2+y^2=1$ 相交的一个 $a$ 值为
已知点 $A(1,2)$ 在抛物线 $y^2=2 p x$ 上, 过点 $A$ 作圆 $(x-2)^2+y^2=2$ 的两条切线分别交抛物线于 $B, C$ 两点, 则直线 $B C$ 的方程为
已知函数 $f(x)=\ln x, g(x)=\frac{x^2}{4}$, 写出斜率大于 $\frac{1}{2}$ 且与函数 $y=f(x), y=g(x)$ 的图象均相切的直线 $l$ 的方程:
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点分别为 $F_1, F_2, O$ 为坐标原点, $A, B$ 为 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的两点, 且 $A F_1 / / B F_2, \angle A F_1 F_2=60^{\circ}$. 记 $A F_2, B F_1$ 交点为 $P$, 过点 $P$ 作 $P Q / / A F_1$, 交 $x$ 轴于点 $Q$. 若 $|O Q|=2|P Q|$, 则双曲线 $C$ 的离心率是
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 直线 $l: 3 x+4 y=0$ 与 $C$ 相交于 $A, B$两点, 若 $|A B|=2|O F|$ ( $O$ 为坐标原点), 则 $C$ 的离心率为
平面直角坐标系中, 集合 $\left\{(x, y) \mid x=\frac{4 t}{1+t^2}, y=\frac{2\left(1-t^2\right)}{1+t^2}, t \in \mathbf{R}\right\}$ 中的点到直线 $y=$ $\sqrt{3} x-6$ 的距离最小值为
已知 $\mathrm{F}$ 是抛物线 $\mathrm{C}: y^2=8 x$ 的焦点, 过抛物线 $\mathrm{C}$ 上一点 $\mathrm{M}$ 作其准线的垂线, 垂足为 $\mathrm{N}$, 若 $\angle N F M=\frac{\pi}{3}$,则 $M$ 点的横坐标为
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 若过点 $F_2$ 的直线与双曲线的左、右两支分别交于 $A, B$ 两点, 且 $A F_1=B F_1=2 \sqrt{5}$. 又以双曲线的顶点为圆心, 半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 则双曲线的离心率为
已知 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ 分别是双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左, 右焦点, 过 $F_2$ 作 $E$ 的浙近线的垂线, 垂足为 $P$. 点 $M$ 在 $E$ 的左支上, 当 $P M / / x$ 轴时, $|P M|=c$, 则 $E$ 的浙近线方程为
设双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$ 和 $F_2$, 圆 $O$ 以 $\Gamma$ 的实轴为直径, 过点 $F_1$ 作圆 $O$ 的切线 $l, l$ 与 $\Gamma$ 的两支分别交于 $A, B$ 两点, 且 $\cos \angle F_1 B F_2=\frac{3}{5}$,则 $\Gamma$ 的离心率的值为
已知抛物线 $E: y^2=4 x$, 圆 $M:(x-1)^2+y^2=1$, 过点 $M$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点, 与圆 $M$ 交于 $C, D$两点 ( $A, C$ 都在 $x$ 轴上方), 若 $|A C|-|B D|=2 \sqrt{3}$, 则直线 $l$ 的斜率为