立体几何12-数学组卷-自助组卷

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立体几何12

数学

四棱雉 $A-B C D E$ 中, 底面 $B C D E$ 为矩形, 侧面 $A B C \perp$ 底面 $B C D E, B C=2$
, $C D=\sqrt{2}, \quad A B=A C$.
( I ) 证明: $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}$;
（II) 设 $\mathrm{CE}$ 与平面 $\mathrm{ABE}$ 所成的角为 $45^{\circ}$, 求二面角 $C-A D-E$ 的大小.

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如图, 四棱雉 S- $A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为矩形, $S D \perp$ 底面 $A B C D$, $A D=\sqrt{2}, D C=S D=2$, 点 $M$ 在侧棱 $S C$ 上, $\angle A B M=60^{\circ}$
(I) 证明: $M$ 是侧棱 SC 的中点;
(II)求二面角 $\mathrm{S}-\mathrm{AM}-\mathrm{B}$ 的大小.

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如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, $\angle D A B=60^{\circ}$
, $A B=2 A D, P D \perp$ 底面 $A B C D$.
( I ) 证明: $\mathrm{PA} \perp \mathrm{BD}$;
(II) 若 $P D=A D$, 求二面角 $A^{-} P B-C$ 的余弦值.

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如图 1, 矩形 $A B C D$, 点 $E, F$ 分别是线段 $A B, C D$ 的中点, $A B=4, A D=2$, 将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 翻折
(I) 若所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{2}$ (如图 2) , 求证: 直线 $C E \perp$ 面 $D B F$;
(II) 若所成二面角的大小为 $\frac{\pi}{3}$ (如图 3), 点 $M$ 在线段 $A D$ 上, 当直线 $B E$ 与面 $E M C$ 所成角为 $\frac{\pi}{4}$ 时, 求二面角 $D-E M-C$ 的余弦值.

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如图,在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为梯形, $A B=2 A D=2 D C, A B / /$ $D C, A B \perp A D$, 平面 $P C B \perp$ 平面 $A B C D$.
(1) 证明: $P B \perp A C$;
(2) 若 $\triangle P C B$ 为正三角形, 求二面角 $B P A-C$ 的正弦值.

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如图所示, 在等腰梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, B C=C D=2, C F=1, \angle B C D=120^{\circ}$, 四边形 $A C F E$ 为矩形且满足 $A E \perp$ 平面 $A B C D$.
(1) 证明： $E F \perp$ 平面 $B C F$ ；
(2) 若 $M$ 是 $E F$ 中点, 求点 $C$ 到平面 $B F M$ 的距离.

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如图, 三棱雉 $A-B C D$ 中, $A B=A D, A O \perp$ 平面 $B C D$, 点 $O$ 在线段 $C D$ 上, 且满足 $O D=2 O C=2, B D=\sqrt{3} O B$.
(1) 证明: $B C \perp A D$;
(2) 若二面角 $C-A B-D$ 的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$, 求三棱雉 $A-B C D$ 的体积.

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如图, 多面体 $A B C D E F$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, $D E \perp$ 平面 $A B C D$, $C F / / D E$, 且 $A B=D E=2, C F=1, G$ 为棱 $B C$ 的中点, $H$ 为棱 $D E$ 上的动点, 有下列结论:

(1) 当 $H$ 为 $D E$ 的中点时, $G H / /$ 平面 $A B E$;
(2) 存在点 $H$, 使得 $G H \perp A E$;
(3)三棱雉 $B-G H F$ 的体积为定值;
(4) 三棱雉 $E-B C F$ 的外接球的表面积为 $14 \pi$.
其中正确的结论序号为（　　） (填写所有正确结论的序号)

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如图, 在梯形 $A C D E$ 中, $A E / / C D$, 且平面 $A C D E \perp$ 平面 $A B C, A B=C D=4$, $A E=A C=8, B C=D E=4 \sqrt{3}$.
(1) 若平面 $A B E \cap$ 平面 $B C D=l$, 求证: $l / /$ 平面 $A C D E$;
(2) 求平面 $A B E$ 与平面 $B C D$ 的锐二面角的余弦值.

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已知 $P A \perp$ 平面 $A B C, A B \perp A C, P A=A B=3, A C=4, M$ 为 $B C$ 中点, 过点 $M$ S分别作平行于平面 $P A B$ 的直线交 $A C 、 P C$ 于点 $E 、 F$.
(1) 求直线 $P M$ 与平面 $A B C$ 所成的角;
(2) 证明: 平面 $M E F / /$ 平面 $P A B$, 并求直线 $M E$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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