解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图, 直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形, $\angle D A B=\frac{\pi}{3}, 3 A D=$ $2 C D=2 D D_1=6$, 点 $P, M$ 分别为 $A B, C D_1$ 上靠近 $A, D_1$ 的三等分点.
(1) 求点 $M$ 到直线 $P D_1$ 的距离; 来源: 高三答案公众号
(2) 求直线 $P D$ 与平面 $P C D_1$ 所成角的正弦值.
三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $A_1 A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_1=2, A_1 C_1=1$, $M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点.
(1) 求证: $A_1 N / /$ 平面 $C_1 M A$;
(2) 求平面 $C_1 M A$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成夹角的余弦值;
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B=A C=A A_1=2, \angle B A C=90^{\circ}, E, F$ 依次为 $C_1 C, B C$ 的中点.
(1) 求证: $A_1 B \perp B_1 C$
(2) 求 $A_1 B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.
如图, 梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, \angle A B C=\frac{\pi}{2}, B C=C D=2, A D=\sqrt{5}, D E \perp A B$, 垂 足为点 $E$, 将 $\triangle A E D$ 沿 $D E$ 折起, 使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置, 且 $P E \perp E B$, 连接 $P B, P C, M$, $N$ 分别为 $P C$ 和 $E B$ 的中点.
(1) 证明: $M N / /$ 平面 $P E D$;
(2) 求二面角 $D-M N-C$ 的正弦值.
如图, 在三棱锥 $P-A B C$ 中, 侧面 $P A C$ 是等边三角形, $A B \perp B C, P A=P B$.
(1) 证明: 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 若 $A C=2 A B$, 点 $M$ 在棱 $P C$ 上, 且二面角 $M-A B-C$ 的大小为 $45^{\circ}$, 求 $\frac{P M}{P C}$.
已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $P D \perp$ 平面 $A B C D, P D=A$ $B=1, E$ 是 $P B$ 的中点.
(1) 求直线 $B D$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值;
(2) 求证: $P C \perp$ 平面 $A D E$;
(3) 求点 $B$ 到平面 $A D E$ 的距离.
