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立体几何11

数学

如图, 直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形, $\angle D A B=\frac{\pi}{3}, 3 A D=$ $2 C D=2 D D_1=6$, 点 $P, M$ 分别为 $A B, C D_1$ 上靠近 $A, D_1$ 的三等分点.
(1) 求点 $M$ 到直线 $P D_1$ 的距离; 来源: 高三答案公众号
(2) 求直线 $P D$ 与平面 $P C D_1$ 所成角的正弦值.

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三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 若 $A_1 A \perp$ 面 $A B C, A B \perp A C, A B=A C=A A_1=2, A_1 C_1=1$, $M, N$ 分别是 $B C, B A$ 中点.
(1) 求证: $A_1 N / /$ 平面 $C_1 M A$;
(2) 求平面 $C_1 M A$ 与平面 $A C C_1 A_1$ 所成夹角的余弦值;

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如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B=A C=A A_1=2, \angle B A C=90^{\circ}, E, F$ 依次为 $C_1 C, B C$ 的中点.
(1) 求证: $A_1 B \perp B_1 C$
(2) 求 $A_1 B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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如图, 梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, \angle A B C=\frac{\pi}{2}, B C=C D=2, A D=\sqrt{5}, D E \perp A B$, 垂足为点 $E$, 将 $\triangle A E D$ 沿 $D E$ 折起, 使得点 $A$ 到点 $P$ 的位置, 且 $P E \perp E B$, 连接 $P B, P C, M$, $N$ 分别为 $P C$ 和 $E B$ 的中点.
(1) 证明: $M N / /$ 平面 $P E D$;
(2) 求二面角 $D-M N-C$ 的正弦值.

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如图, 在三棱锥 $P-A B C$ 中, 侧面 $P A C$ 是等边三角形, $A B \perp B C, P A=P B$.
(1) 证明: 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$;
(2) 若 $A C=2 A B$, 点 $M$ 在棱 $P C$ 上, 且二面角 $M-A B-C$ 的大小为 $45^{\circ}$, 求 $\frac{P M}{P C}$.

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已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, $P D \perp$ 平面 $A B C D, P D=A$ $B=1, E$ 是 $P B$ 的中点.
(1) 求直线 $B D$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值;
(2) 求证: $P C \perp$ 平面 $A D E$;
(3) 求点 $B$ 到平面 $A D E$ 的距离.

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在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $P A \perp$ 平面 $A B C D, P A=A D=8 . M$为线段 $P D$ 上一点 ( $M$ 不与 $D$ 重合), 且 $A M \perp M C$.
(1) 证明: $M$ 为 $P D$ 的中点;
(2) 若平面 $B A M$ 与平面 $C A M$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 求 $A B$.

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如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为正方形, 侧棱 $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且 $P A=A B$, 点 $E, F$ 分别为 $P B, P D$ 的中点.
(I)证明: $P C \perp$ 平面 $A E F$;
(II)求平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A B \perp B C, A B=B C=B B_1=6, D, E$ 分别为 $A C, B B_1$ 的中点, $F$ 为棱 $B C$ 上一点, 且 $A_1, D, E, F$ 四点共面.
(1) 求 $B F$ 的长;
(2) 求二面角 $C_1-D F-C$ 的正切值.

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如图 (1) 所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}$, 过点 $A$ 作 $A D \perp B C$, 坓足 $D$ 在线段 $B C$ 上,且 $A D=2 \sqrt{3}, C D=\sqrt{5}$, 沿 $A D$ 将 $\triangle C D A$ 折起 (如图 (2)), 点 $E, F$ 分别为棱 $A C, A B$ 的中点.
(1) 证明: $A D \perp E F$;
(2) 若二面角 $C-D A-B$ 所成角的正切值为 2 , 求二面角 $C-D F-E$ 所成角的余弦值.

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如图所示,在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是正方形, 平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $P C D \perp$ 平面 $A B C D$.
(1)证明: $P D \perp$ 平面 $A B C D$.
(2)若 $P D=A D ， M$ 是 $P D$ 的中点， $N$ 在线段 $P C$ 上,求平面 $B M N$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值的取值范围.

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如图, 在四棱雉 $E-A B C D$ 中, $E A \perp$ 平面 $A B C D$, 底面 $A B C D$ 为矩形, $A B=2, A D=1, E A=\sqrt{3}, F$ 为 $E C$中点, $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}$.
(1) 求证: $E C \perp$ 平面 $D F G$;
(2) 求二面角 $F-D G-C$ 的余弦值.

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已知直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面 $A A_1 B_1 B$ 为正方形, $A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_1$ 的中点, $D$ 为棱 $A_1 B_1$ 上的点, 设 $B_1 D=m, B F \perp A_1 B_1$.
(1) 证明: $B F \perp D E$;
(2) 当 $m$ 为何值时, 平面 $B B_1 C_1 C$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值最大.

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如图, 直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面为菱形, $A B=A C=2, A A_1=2 \sqrt{3}$.
(1) 证明: 平面 $A_1 C_1 B \perp$ 平面 $B D D_1 B_1$;
(2) 求直线 $D C_1$ 与平面 $A_1 C_1 B$ 所成角的正弦值.

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如图, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, $P C \perp$ 底面 $A B C D, A B \perp A D, B C / / A D, A D=2 A B=2 B C=2, P C=3$, $\overrightarrow{P E}=\lambda \overrightarrow{P D}(0 < \lambda < 1)$

(1) 求证: $C D \perp P A$;
(2) 若平面 $P A C$ 与平面 $E A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$, 求三棱雉 $P-A C E$ 的体积.

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