导数20-数学组卷-自助组卷

导出试卷打印试卷试卷白板

导数20

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知函数

f (x) = \ln (1 + a x) - x - \frac{1}{a}, g (x) = x - e^{x}

.
(1) 若不等式

f (x) ⩽ \frac{1}{a} - 2

恒成立, 求

a

的取值范围;
(2) 若

a = 1

时, 存在 4 个不同实数

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

, 满足

f (x_{1}) = f (x_{2}) = g (x_{3}) = g (x_{4})

, 证明:

| x_{2} - x_{1} | = | x_{4} - x_{3} |

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

2. 已知函数

f (x) = x^{2} + b x - 1

有两个零点

x_{1}, x_{2}

, 且

x_{1}, x_{2}

的倒数和为

- 1

.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 若在区间

[- 2, 1]

上, 不等式

f (- x) > 2 x - m

恒成立, 求实数

m

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

3. 已知函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{2 - a x}{x - 2} (a \in R)

的图象关于原点对称.
(1) 当

x \in (2, + \infty)

时,

f (x) + \log_{\frac{1}{2}} (x - 2) < m

恒成立, 求实数

m

的取值范围;
(2) 若关于

x

的方程

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x + k)

在

(2, 5]

上有解, 求实数

k

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

4. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2}, g (x) = eln x

.
(1) 设函数

F (x) = f (x) - g (x)

, 求

F (x)

的单调区间;
(2) 若存在常数

k, m

, 使得

f (x) ⩾ k x + m

, 对

x \in R

恒成立, 且

g (x) ⩽ k x + m

, 对

x \in (0, + \infty)

恒成立, 则称直线

y = k x + m

为函数

f (x)

与

g (x)

的 “分界线”, 试问:

f (x)

与

g (x)

是否存在“分界线”? 若存在,求出“分界线”的方程; 若不存在, 请说明理由.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

5. 已知函数

f (x) = a e^{x} - x + 1 (a \in R)

.
(1) 讨论函数

f (x)

的零点的个数;
(2) 若

f (x)

有两个不同的零点

x_{1} 、 x_{2}

, 证明:

x_{1} + x_{2} > 4

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

6. 已知函数

f (x) = \frac{a}{3} x^{3} - a x - x \ln x

.
(1) 若

f (x)

的导函数为

g (x)

, 讨论

g (x)

的单调性;
(2) 若

f (x) - \frac{a x^{3}}{3} + (x - a) \ln x + x e^{x} ⩾ 0

恒成立, 求实数

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

7. 已知函数

f (x) = e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - a x

.
(1) 讨论

f (x)

的单调性；
(2) 若

f (x)

有两个零点, 求

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

8. 已知

f (x) = \log_{4} (4 x + 1) + k x (k \in R)

为偶函数.
(1)求

k

的值;
(2) 若方程

f (x) = \log_{4} (a \cdot 2^{x} - a)

有且只有一个根, 求实数

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

9. 若函数

f (x) = \frac{| 1 + \sqrt{x + 1} - a e^{x} |}{e^{x}}

在在最大值和最小值，则实数

a

的取值范围

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

10. 设

f (x) = \frac{x}{e^{x}} (x \in R)

.
(1) 求

f (x)

的单调性, 并求

f (x)

在

x = \frac{1}{2}

处的切线方程;
(2) 若

(e x) \cdot f (x) \leq k \cdot (\ln x + 1)

在

x \in (1, + \infty)

上恒成立, 求

k

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

11. 已知

a > 2

, 函数

f (x) = x - a - (a - 1) \ln \frac{x}{a}, x > 0

.
(1) 求函数

f (x)

的单调区间和极值;
(2) 设

f (x)

较小的零点为

x_{1}

, 证明:

a - 2 < x_{1} < a - 2 + \frac{1}{a}

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

12. 已知函数

f (x) = e^{a x} - x, g (x) = \sin x - \cos x - x + 2

,
(1) 求函数

f (x)

的单调区间;
(2) 若关于

x

的不等式

f (x) \geq g (x)

在

x \in [0, + \infty)

上恒成立, 求实数

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

13. 已知函数

f (x) = e^{x} + a \cos x

, 其中

x > 0, a \in R

.
(1) 当

a = - 1

时, 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 若函数

f (x)

的导函数

f^{'} (x)

在

(0, π)

内有且仅有一个极值点, 求

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

14. 已知函数

f (x) = x \ln x - \frac{k}{x}

, 其中

k > 0

.
(1) 证明:

f (x)

恒有唯一零点;
(2) 记 (1) 中的零点为

x_{0}

, 当

0 < k < \frac{e}{2}

时, 证明:

f (x)

图象上存在关于点

(x_{0}, 0)

对称的
两点.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

15. 已知函数

f (x) = (x + a) e^{x}, a \in R

.
(1) 讨论

f (x)

在

(0, + \infty)

的单调性;
(2) 是否存在

a, x_{0}, x_{1}

, 且

x_{0} \neq x_{1}

, 使得曲线

y = f (x)

在

x = x_{0}

和

x = x_{1}

处有相同的切线? 证明你的结论.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

16. 已知函数

f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x (a > 0)

.
(1) 设

y = g (x)

是曲线

y = f (x)

在

x = n

处的切线, 若

y = f (x) - g (x)

有且仅有一个零点, 求

n

;
(2) 若

f (x)

有两个极值点

x_{1} < x_{2}

, 且

f (x_{1}) - f (x_{2}) > m a^{2} - 1

恒成立, 求正实数

m

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

17. 已知函数

f (x) = e^{x} + \cos x - m x, x \in (0, + \infty)

.
(1) 若函数

f (x)

在

(0, π)

上单调递减, 求实数

m

的取值范围;
(2) 若

e^{\frac{π}{2}} - 1 < m < e^{π}

, 求证: 函数

f (x)

有两个零点. (参考数据:

e^{\frac{π}{2}} \approx

4.

81, e^{π} \approx 23.14

)

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

18. 已知函数

f (x) = (x - 1) e^{x} - a \ln x

.
(1) 当

a > 0

时,证明:

f (x)

存在唯一的极小值点;
(2) 若

f (x)

有两个零点, 求

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

19. 已知函数

f (x) = \ln x - m x (m \in R)

.
(1) 若曲线

y = f (x)

过点

P (1, - 1)

, 求曲线

y = f (x)

在点

P

处的切线方程;
(2) 求函数

f (x)

在区间

[1, e]

上的最大值;
(3) 若函数

f (x)

有两个不同的零点

x_{1}, x_{2}

, 求证:

x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

20. 已知函数

f (x) = \frac{x}{e^{x + 1}} + a \ln (x + 1)

.
(1) 当

a = 2

时, 求曲线

y = f (x)

在点

(0, f (0))

处的切线方程;
(2) 若函数

f (x)

在

(- 1, 0)

与

(0, + \infty)

上各有一个零点, 求实数

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

21. 已知函数

f (x) = a x - \ln x - \frac{a}{x}

.
(1) 若

x > 1, f (x) > 0

, 求实数

a

的取值范围;
(2) 设

x_{1}, x_{2}

是函数

f (x)

的两个极值点, 证明:

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < \frac{\sqrt{1 - 4 a^{2}}}{a}

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

22. 已知函数

f (x) = e^{x} - a x^{2}

.
(1) 若函数

f (x)

在

[1, 3]

上有两个零点, 求实数

a

的取值范围.
(2)探究: 是否存在正数

a

, 使得

F (x) = f (x) + a \sin x - (1 + a) x

在

R

上单调递增, 若存在, 求出

a

的值; 若不存在, 请说明理由.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

23. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x

.
(1) 若

g (x) = f (x) - x + a \ln x

, 讨论

g (x)

的单调性;
(2) 已知

h (x) = 2 f (x) - x \ln x - 4 a + 2

, 若方程

h (x) = 0

在

\frac{1}{2}, + \infty)

有且只有两个解, 求实数

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

24. 已知函数

f (x) = x^{2} - a_{\ln} (1 - x), a \in R

.
(1)讨论函数

f (x)

的单调性;
(2) 若函数

f (x)

有两个极值点

x_{1}, x_{2}

, 且

x_{1} < x_{2}

, 求证:

2 f (x_{1}) - a x_{2} > (2 \ln^{2} - \frac{3}{2}) a

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

25. （1）已知函数

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} + 1}

, 求

f^{'} (1)

;
(2) 已知函数

g (x) = x^{3} + a x

, 若曲线

g (x)

在

x = 0

处的切线也与曲线

h (x) = - \ln x

相切, 求

a

的值.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

26. (1) 证明: 当

0 < x < 1

时,

x - x^{2} < \sin x < x

;
(2) 已知函数

f (x) = \cos a x - \ln (1 - x^{2})

, 若

x = 0

是

f (x)

的极大值点, 求

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

27. 已知函数

f (x) = a (e^{x} + a) - x

.
（1）讨论

f (x)

的単调性;
（2）证明：当

a > 0

时，

f (x) > 2 \ln a + \frac{3}{2}

.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

28. 已知

f (x) = a x - \frac{\sin x}{\cos^{3} x} ， x \in (0, \frac{π}{2})

(1) 若

a = 8

, 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 若

f (x) < \sin 2 x

恒成立, 求

a

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

29. 已知函数

f (x) = \frac{\sin x}{e^{x}}

.
(1)讨论

f (x)

在

[0, π]

上的单调性;
(2)若对于任意

x \in [0, \frac{π}{2}]

, 若函数

f (x) \leq k x

恒成立, 求实数

k

的取值范围.

点赞(0) 错题本(0) 加入试卷

他的试卷

导数19 函数18 不等式17 不等式16 不等式15

试卷二维码

分享此二维码到群，让更多朋友参与