解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\ln (1+a x)-x-\frac{1}{a}, g(x)=x-\mathrm{e}^x$.
(1) 若不等式 $f(x) \leqslant \frac{1}{a}-2$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围;
(2) 若 $a=1$ 时, 存在 4 个不同实数 $x_1, x_2, x_3, x_4$, 满足 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=g\left(x_3\right)=g\left(x_4\right)$, 证明: $\left|x_2-x_1\right|=\left|x_4-x_3\right|$.
已知函数 $f(x)=x^2+b x-1$ 有两个零点 $x_1, x_2$, 且 $x_1, x_2$ 的倒数和为 $-1$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;
(2) 若在区间 $[-2,1]$ 上, 不等式 $f(-x)>2 x-m$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}} \frac{2-a x}{x-2}(a \in \mathbf{R})$ 的图象关于原点对称.
(1) 当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $f(x)+\log _{\frac{1}{2}}(x-2) < m$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围;
(2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}(x+k)$ 在 $(2,5]$ 上有解, 求实数 $k$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2, g(x)=\mathrm{eln} x$.
(1) 设函数 $F(x)=f(x)-g(x)$, 求 $F(x)$ 的单调区间;
(2) 若存在常数 $k, m$, 使得 $f(x) \geqslant k x+m$, 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 且 $g(x) \leqslant k x+m$, 对 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立, 则称直线 $y=k x+m$ 为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的 “分界线”, 试问: $f(x)$ 与 $g(x)$ 是否存在“分界线”? 若 存在,求出“分界线”的方程; 若不存在, 请说明理由.
已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^x-x+1(a \in \mathbf{R})$.
(1) 讨论函数 $f(x)$ 的零点的个数;
(2) 若 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_1 、 x_2$, 证明: $x_1+x_2>4$.
已知函数 $f(x)=\frac{a}{3} x^3-a x-x \ln x$.
(1) 若 $f(x)$ 的导函数为 $g(x)$, 讨论 $g(x)$ 的单调性;
(2) 若 $f(x)-\frac{a x^3}{3}+(x-a) \ln x+x \mathrm{e}^x \geqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.