解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) \ln (x+1)$.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率;
（2）当 $x>0$ 时, 证明: $f(x)>1$;
(3) 证明: $\frac{5}{6} < \ln (n !)-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leq 1$.
已知函数 $f(x)=\ln x-x^2+x$.
(1) 证明 $f(x) \leqslant 0$;
(2) 关于 $x$ 的不等式 $\frac{x^2}{\mathrm{e}^{a x^2}}-\frac{x}{\mathrm{e}^x}+\ln x-a x^2+x \leqslant 0$ 恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x-1$.
(1) 当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 证明: 当 $a \leqslant 2$ 时, $f(x)>1-(\sin x+\cos x)$ 对任意的 $x \in(0,+\infty)$ 恒成立.
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{e}^{x-t}-t}$.
(1) 若 $f(x)$ 在 $(t, f(t))$ 处的切线方程平行于直线 $x-y+1=0$, 求 $t$ 的 值以及此时的切线方程;
(2) 若方程 $f(x)=x$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的实数根, 求实数 $t$ 的取 值范围.
已知函数 $f(x)=x+\frac{a}{\mathrm{e}^x}(a>0)$.
(I) 求函数 $f(x)$ 的极值;
(II) 若函数 $f(x)$ 有两个不相等的零点 $x_1, x_2$,
(i) 求 $a$ 的取值范围;
(ii) 证明: $x_1+x_2>2 \ln a$.
已知函数 $f(x)=\left(x^2+m x+n\right) \mathrm{e}^x$.
(1) 若 $m=n=0$, 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若 $m=a+b+2, n=a^2+b^2+2$, 且 $f(x)$ 有两个极值点, 分别为 $x_1$ 和 $x_2\left(x_1 < x_2\right)$, 求 $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{\mathrm{e}^{x_2}-\mathrm{e}^{x_1}}$ 的最小值.