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三角函数27

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 在

△ ABC

中, 内角

A 、 B 、 C

的对边长分别为

a 、 b 、 c

, 已知

a^{2} - c^{2} = 2 b

, 且

\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C

, 求

b

.

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2. 求

\sin 2 x + \sqrt{2} \sin x

的最大值

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3. 在

△ A B C

中, 设角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

. 已知向量

\vec{m} = (\sqrt{3} \cos A, \sin A), \vec{n} = (1, - 1)

, 且

\vec{m} / / \vec{n}

.
(1) 求角

A

的大小;
(2) 若

a = 2 \sqrt{6}, a \sin B - c \sin A = 0

, 求

△ A B C

的面积.

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4. 在

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

对应边为

a 、 b 、 c

, 其中

b = 2

.
(1) 若

A + C = \frac{2 π}{3}

, 且

a = 2 c

, 求边长

c

的值;
(2) 若

A - C = \frac{π}{12}, a = \sqrt{2} c \sin A

, 求

S_{△ A B C}

.

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5. 在斜三角形

A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 满足

a \sin A + 4 b \sin C \cos^{2} A =

b \sin B + c \sin C

.
(1)求角

A

的大小;
(2) 当

a = 3

时, 求

b + c

的取值范围.

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6. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知

4 a = \sqrt{5} c, \cos C = \frac{3}{5}

.
(1) 求

\sin A

的值;
(2) 若

b = 11

, 求

△ A B C

的面积.

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7. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知

(b - a) [\sin (B + C) + \sin (A^{'} + C)] = \sin C (a + c)

.
(1) 求

B

;
(2) 若

∠ A B C

的平分线交

A C

于点

D

, 且

B D = 2

, 求

b

的最小值.

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8. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

2 b \cos A - a = 2 c

.
(1) 求角

B

;
(2) 设

∠ A B C

的角平分线

B D

交

A C

于点

D

, 若

B D = 2

, 求

△ A B C

的面积的最小值.

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9. 在锐角

△ A B C

中,

B C

在

A B

上的投影长等于

△ A B C

的外接圆半径

R

.
(1) 求

\sin A \cos B

的值;
(2) 若

4 \cos A \sin B = 1

, 且

A B = 3

, 求

R

.

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10. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且有

2 \sin (B + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}

.
(1) 求角

A

;
(2) 若

B C

边上的高

h = \frac{\sqrt{3}}{4} a

, 求

\cos B \cos C

.

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11.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b = 2 c \sin (A + \frac{π}{6})

.
(1) 求

C

;
(2) 若

c = 1, D

为

△ A B C

的外接圆上的点,

\vec{B A} \cdot \vec{B D} = {\vec{B A}}^{2}

, 求四边形

A B C D

面积的最大值.

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12. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

的对边分别是

a, b, c

, 满足

b \sin B + c \sin C = \sin A \cdot (a - 2 b \sin C)

.
(1)求角

A

的余弦值;
(2) 若

D

是边

A B

的中点且

C D = 2

, 求

b + \sqrt{2} c

的取值范围.

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13. 已知函数

f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \sin (\frac{π}{2} + x) - 2 \cos x \sin (\frac{π}{2} - x) + 1

.
(1) 求函数

f (x)

的最值; 来源: 高三答案公众号
(2) 设

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 若

f (A) = 2, b = 2

, 且

2 \sin B +

\sin C = \sqrt{7} \sin A

, 求

△ A B C

的面积.

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14. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

2 \sin A \sin C \cos B + \cos B = 3 \sin^{2} B -

\cos (A - C)

.
(1) 证明:

a + c = 2 b

;
(2) 若

b = 2, \cos B = \frac{5}{13}

, 求

△ A B C

的面积.

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15. 已知在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 其中

\tan 2 C = \frac{3}{4}, C

为钝角, 且

\frac{b}{a} \cos A = 2 \cos B

.
(1) 求角

B

的大小;
(2)若

△ A B C

的面积为 6 , 求

△ A B C

的周长.

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16. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, \frac{\sin B}{2 b} = \frac{\cos C}{c}

.
(1) 求

\frac{\sin C + 2 \cos C}{2 \sin C - \cos C}

的值;
(2) 若

c = 2 \sqrt{5}, △ A B C

的面积为 5 , 求

△ A B C

的周长.

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17. 在

△ A B C

中,

a 、 b 、 c

分别是角

A 、 B 、 C

的对边,

\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} = 1

.
(1)求

B

的大小;
(2)若

b = 2

, 求

△ A B C

的周长

L

的取值范围.

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18. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

△ A B C

面积为

\sqrt{3}, D

为

B C

的中点, 且

A D = 1

.
(1) 若

∠ A D C = \frac{π}{3}

, 求

\tan B

;
(2) 若

b^{2} + c^{2} = 8

, 求

b, c

.

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19. 已知在

△ A B C

中,

A + B = 3 C, 2 \sin (A - C) = \sin B

.
(1) 求

\sin A

;
(2) 设

A B = 5

, 求

A B

边上的高.

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20. 在

△ A B C

中, 已知

∠ B A C = 120^{\circ}, A B = 2, A C = 1

.
(1) 求

\sin ∠ A B C

;
(2) 若

D

为

B C

上一点, 且

∠ B A D = 90^{\circ}

, 求

△ A D C

的面积.

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21. 已知

\frac{x}{\sin^{2} 72^{\circ} + 2024} + \frac{y}{\sin^{2} 72^{\circ} - 2023} = 1, \frac{x}{\sin^{2} 18^{\circ} + 2024} + \frac{y}{\sin^{2} 18^{\circ} - 2023} = 1

, 求

x + y

的值

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22. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分別是

a, b, c

. 已知

a = \sqrt{39}, b = 2, ∠ A = 120^{\circ}

.
(1) 求

\sin B

的值;
(2) 求

c

的值;
(3) 求

\sin (B - C)

.

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23. 已知

△ A B C

中角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且满足

2 c \sin A \cos B + 2 b \sin A \cos C = \sqrt{3} a, c > a

.
(1) 求角

A

;
(2) 若

b = 2, △ A B C

的面积

2 \sqrt{3}, D

是

B C

边上的点, 且

\vec{C D} = 3 \vec{D B}

, 求

A D

.

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24. 已知

a, b, c

为

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边, 向量

m = (\sin B - \sin A, \sin C -

\sin A), n = (a + c, b)

, 且

m / / n

.
(1) 求角

C

;
(2) 若

b - 4, △ A B C

的面积为

6 \sqrt{3}, D

为

B C

中点, 求线段

A D

的长.

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25. 已知

a, b, c

分别为

△ A B C

内角

A, B, C

的对边, 且

c \sin B \sin C

= (c \cos B + 2 b - a) \cos C

.
(1) 求角

C

;
(2) 若

c^{2} = 2 a b, △ A B C

的面积为

\sqrt{3}

, 求

a + b

的值.

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26.

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对应的边分别为

a, b, c

, 且

\sqrt{3} a \cos B = 2 c \sin A - \sqrt{3} b \cos A

.
(I) 求角

A

的大小;
(II) 若

△ A B C

的面积为

4 \sqrt{3}, a

是

b, c

的等差中项, 求

△ A B C

的周长.

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27. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且

2 a \cos B = 2 c - b

.
(1) 求角

A

;
(2) 若

a = 7

, 且

△ A B C

的内切圆半径

r = \sqrt{3}

, 求

△ A B C

的面积

S

.

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28. 已知

△ A B C

中,

∠ A B C = \frac{π}{3}, ∠ A B C

的平分线交

A C

于点

D, B D = 2 \sqrt{3}

.
(1) 若

A D = 2 D C

, 求

A C

的长度;
(2) 求

△ A B C

面积的最小值.

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29. 在

△ A B C

中, 设

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且满足

c \cos A - a \cos C = a + b

.
(1) 求角

C

;
(2)若

c = 5, △ A B C

的内切圆半径

r = \frac{\sqrt{3}}{4}

, 求

△ A B C

的面积.

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