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指数23

数学

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设点

P

在曲线

y = \frac{1}{2} e^{x}

上, 点

Q

在曲线

y = \ln (2 x)

上, 则

| P Q |

最小值为 ( )

A.

1 - \ln 2

B.

\sqrt{2} (1 - \ln 2)

C.

1 + \ln 2

D.

\sqrt{2} (1 + \ln 2)

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2. 若

a = {1.01}^{0.5}, b = {1.01}^{0.6}, c = {0.6}^{0.5}

, 则

a, b, c

的大小关系为

A.

c > a > b

B.

c > b > a

C.

a > b > c

D.

b > a > c

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3. 下列函数中, 最小值为 2 的是

A.

y = x + \frac{2}{x}

B.

y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}

C.

y = e^{x} + e^{- x}

D.

y = \sin x + \frac{1}{\sin x} (0 < x < \frac{π}{2})

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4. 已知实数

a, b

满足等式

{(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}

, 则下列不可能成立的有

A.

a = b

B.

0 > b > a

C.

b > a > 0

D.

0 > a > b

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5. 若

a > b > 1, 0 < c < 1

, 则

A.

\log_{a} c > \log_{b} c

B.

\log_{c} a > \log_{c} b

C.

a^{c} < b^{c}

D.

c^{a} > c^{b}

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6. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1 + \log_{3} (2 - x), x < 1, \\ 3^{x - 1}, x ⩾ 1, \end{cases}

求

f (- 25) + f (\log_{3} 15) =

A.

9

B.

16

C.

8

D.

15

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7. 已知

a = \log_{3} 4, b = \log_{2} 3, c = \log_{0.2} 0.09

, 则

a, b, c

的大小关系是

A.

c < a < b

B.

b < a < c

C.

a < b < c

D.

a < c < b

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8. 设函数

f (x) = a^{x^{2} - a x + 1} (a > 0

且

a \neq 1)

在区间

(0, 1)

单调递减,则

a

的取值范围是

A.

(0, 1)

B.

[2, + \infty)

C.

(0, 1) \cup [2, + \infty)

D.

(0, \frac{1}{2}) \cup [2, + \infty)

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9. 已知函数

f (x) = x \lg \frac{x + m}{x - 3}

是偶函数, 则

m =

A.

3

B.

0

C.

-1

D.

2

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

10. 已知实数

a, b

满足

a e^{a} = b \ln b = 3

, 则

A.

a = \ln b

B.

a b = e

C.

b - a < e - 1

D.

e + 1 < a + b < 4

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三、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 已知函数

f (x)

满足: (1) 对

\forall m, n > 0, f (m) + f (n) = f (m n)

; (2)

f (\frac{1}{2}) = - 1

. 请写出一个符合上述两个条件的函数

f (x) =

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12. 写出一个定义域为

R

且图象不经过第二象限的幂函数

f (x) =

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13. 已知幂函数

f (x) = (2 m^{2} + m) x^{m - 1}

是偶函数, 则

m =

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14. 计算:

3^{\log_{3} 2} + \log_{4} 3 \cdot \log_{3} 8 =

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15. 已知实数

a, b

满足

2^{a - 2} + a = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} b^{2} + \log_{2} b = - \frac{3}{4}

, 则

\frac{2^{a}}{b^{2}} =

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16. 若

10^{x} = 2

, 则

x + \lg 5 =

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17. 已知函数

f (x) = x^{α} - 2^{x}

的图象经过点

(2, - \frac{7}{2})

, 则

α =

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18. 若

f (x) = \ln (1 + \frac{1}{x + b})

为奇函数, 则

b =

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19.

\log_{b} 3 = m, \log_{b} 2 = n

, 则

b^{3 m + n}

的值为

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四、解答题（共 4 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

20. 若正实数

a, b

满足

a^{\lg b} = 2, a^{\lg a} \cdot b^{\lg b} = 5

，则

(a b)^{\lg a b}

的值为

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21. 已知函数

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2^{x} + 1} + k x

为偶函数.
(I) 求实数

k

的值;
(II) 求不等式

f (\log_{2} x) > f (2)

的解集.

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22. 若二次函数

f (x)

满足

f (x + 1) + f (x) = - x^{2} - 5 x - \frac{5}{2}

(1) 求

f (x)

的解析式;
(2) 若函数

g (x) = x \ln x + f (x)

, 解关于

x

的不等式:

g (x^{2} + x) \geq g (2)

.

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23. 化简求值:
( I )

27^{\frac{2}{3}} - \sqrt{(- 3)^{2}} + \log_{3} 36 - 2 \log_{3} 2

;
(II) 已知

\tan α = \frac{1}{2}

, 求

\frac{13 \cos (- α) - 2 \cos (\frac{π}{2} - α)}{\sin (\frac{π}{2} + α) + 3 \sin (π + α)}

的值.

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他的试卷

导数22 导数21 导数20 导数19 函数18

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