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三角函数26

数学

一、解答题（共 29 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 设

(\sin B - \sin C)^{2} = \sin^{2} A - \sin B \sin C

.
(1) 求

A

;
(2) 若

\sqrt{2} a + b = 2 c

, 求

\sin C

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2. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边长分别为

a, b, c

, 且

a \cos B - b \cos A =

\frac{3}{5} c .

(I) 求

\frac{\tan A}{\tan B}

的值;
(II) 求

\tan (A - B

) 的最大值.

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3. 在

△ ABC

中, 内角

A 、 B 、 C

的对边长分别为

a 、 b 、 c

, 已知

a^{2} - c^{2} = 2 b

, 且

\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C

, 求

b

.

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4. 已知

a, b, c

分别为

△ A B C

三个内角

A, B, C

的对边,

a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0

(1) 求

A

;
（2）若

a = 2, △ A B C

的面积为

\sqrt{3}

; 求

b, c

.

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5.

△ ABC

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

2 \cos C (

a \cos B + b \cos A) = c .

(1)求 C;
(2) 若

c = \sqrt{7}, △ ABC

的面积为

\frac{3 \sqrt{3}}{2}

, 求

△ ABC

的周长.

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6.

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

△ A B C

的面积为

\frac{a^{2}}{3 \sin A}

(1) 求

\sin B \sin C

;
(2) 若

6 \cos B \cos C = 1, a = 3

, 求

△ A B C

的周长.

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7. 在平面四边形

ABCD

中,

∠ ADC = 90^{\circ}, ∠ A = 45^{\circ}, AB = 2, BD = 5

.
（1）求

\cos ∠ ADB

;
（2）若

D C = 2 \sqrt{2}

, 求

B C

.

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8. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

\frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2 B}{1 + \cos 2 B}

.
(1) 若

C = \frac{2 π}{3}

, 求

B

(2) 求

\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}

的最小值.

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9. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知

a = 2 \sqrt{2}, b = 5, c = \sqrt{13}

.
(I) 求角

C

的大小;
(II) 求

\sin A

的值;
(III) 求

\sin (2 A + \frac{π}{4})

的值.

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10. 在锐角

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

所对的边分别为

a 、 b 、 c

, 已知

2 a \sin C = \sqrt{3} c

.
(1) 求角

A

的大小;
(2) 若

b = 2, a = \sqrt{7}

, 求

△ A B C

的面积.

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11.

a, b, c

分别为

△ A B C

内角

A, B, C

的对边. 已知

a = 4, a b \sin A \sin C = c \sin B

.
(1) 若

b c = 16

, 求

b^{2} + c^{2}

;
(2)若

B = 2 A

, 求

b

.

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12. 设

△ A B C

的内角

A 、 B 、 C

的对边长分别为

a 、 b

、

c, \cos (A - C) + \cos B = \frac{3}{2}, b^{2} = a c

, 求

B

.

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13. 已知

△ A B C

的角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

\sin A (c \cos B + b \cos C) - c \sin B = c \sin C + b \sin B

,
(1) 求角

A

;
(2) 若

A D

平分

∠ B A C

交线段

B C

于点

D

, 且

A D = 2, B D = 2 C D

, 求

△ A B C

的周长.

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14. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别是

a, b, c

, 满足

\frac{a}{b} = \frac{\cos A + 1}{\sqrt{3} \sin B}

.
(1)求角

A_{i}

(2)若

b + c = 2 a

, 且

△ A B C

外接圆的直径为 2 , 求

△ A B C

的面积.

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15. 在①

b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2 \sqrt{3} a c \sin B

; ②

\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sqrt{3} \sin B \sin C

这两个条件中任选一个, 补充在下面的问题中并作答.
在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

所对的边分别是

a, b, c

,
(1)求角

A

;
(2) 若

a = 8, b + c = 10

, 求

△ A B C

的面积.

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16. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 且

B = \frac{2 π}{3}, b = \sqrt{6}

.
（1）若

△ A B C

的周长为

2 \sqrt{2} + \sqrt{6}

, 求

a, c

的值；
（2）若

△ A B C

的面积为

\frac{\sqrt{3}}{3}

, 求

\sin A \sin C

的值.

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17. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知向量

m = (b, a)

,

n = (\sin A, \sqrt{3} \cos (A + C))

且

m \cdot n = 0

(1) 求角

B

的大小;
(2) 若

b = \sqrt{3}

, 求

3 a + c

的最大值.

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18. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

. 且

b \sin B - a \sin A = (\sqrt{2} b - c) \sin (A + B)

.
(1) 求

A

的大小;
(2) 过点

C

作

C D / / B A

, 在梯形

A B C D

中,

B C = 4, C D = 3 \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}

, 求

A D

的长.

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19. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

. 且

b \sin B - a \sin A = (\sqrt{2} b - c) \sin (A + B)

.
(1) 求

A

的大小;
(2) 过点

C

作

C D / / B A

, 在梯形

A B C D

中,

B C = 4, C D = 3 \sqrt{3}, ∠ A B C = 120^{\circ}

, 求

A D

的长.

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20. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 满足

\sqrt{3} (a \cos C + c \cos A) = 2 b \sin B

, 且

c > b

.
（1）求角

B

;
(2) 若

b = \sqrt{3}

, 求

△ A B C

周长的取值范围.

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21. 已知

α \in (\frac{π}{2}, π), \sin α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

.
(1) 求

\sin (\frac{π}{4} + α)

的值;
(2)求

\cos (\frac{5 π}{6} - 2 α)

的值.

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22. 求

\sin 2 x + \sqrt{2} \sin x

的最大值

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23. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 其外接圆的半径为

\sqrt{3}

, 且满足

4 \sqrt{3} \sin B \cos C = 2 a - c

.
(1)求角

B

;
(2) 若

A C

边上的中线长为

\frac{5}{2}

, 求

△ A B C

的面积.

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24. 已知在

△ A B C

中, 边

a 、 b 、 c

所对的角分别为

A 、 B 、 C, \frac{\sin (B - A)}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin C} = 1

.
(1) 证明:

a 、 b 、 c

成等比数列;
(2) 求角

B

的最大值.

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25. 在

△ A B C

中, 角

A 、 B 、 C

对应边为

a 、 b 、 c

, 其中

b = 2

.
(1) 若

A + C = \frac{2 π}{3}

, 且

a = 2 c

, 求边长

c

的值;
(2) 若

A - C = \frac{π}{12}, a = \sqrt{2} c \sin A

, 求

S_{△ A B C}

.

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26. 在斜三角形

A B C

中, 内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 满足

a \sin A + 4 b \sin C \cos^{2} A =

b \sin B + c \sin C

.
(1)求角

A

的大小;
(2) 当

a = 3

时, 求

b + c

的取值范围.

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27. 求

\sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \sin 3^{\circ} \dots + \sin 90^{\circ}

的值

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28. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

. 已知

4 a = \sqrt{5} c, \cos C = \frac{3}{5}

.
(1) 求

\sin A

的值;
(2) 若

b = 11

, 求

△ A B C

的面积.

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29. 已知

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c, b = \sqrt{3}, a < c

, 且

\sin (\frac{π}{3} - A) \cos (\frac{π}{6} + A) = \frac{1}{4}

.
(1) 求

A

的大小;
(2) 若

a \sin A + c \sin C = 4 \sqrt{3} \sin B

, 求

△ A B C

的面积.

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