数列 $\left\{a_n\right\}$ 是正项等比数列, 已知 $a_1=2$ 且 $a_3, 3 a_2, a_4$ 成等差数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\log _2 a_n, c_n=\frac{b_{n+1}^2-b_n}{b_n^2+b_n}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n^2-2 S_n \cdot a_n+1=0$.
(1) 求 $a_n$ 和 $S_n$;
(2) 若 $n \geqslant 3$, 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\ldots+\frac{1}{S_n^2}>2\left(1-\frac{1}{2^4}\right)$.
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$, 有 $S_n=n\left(a_n+n-1\right)$.
(1) 证明: $\left\{a_n \mid\right.$ 是等差数列;
(2) 若当且仅当 $n=7$ 时, $S_n$ 取得最大值, 求 $a_1$ 的取值范围.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$a_1=1, a_2=8, a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}$$
(1) 证明: $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列;
(2) 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n>2023$, 求 $n$ 的最小值.
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2=6, a_4+a_5=27$. 等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 为递增数列, 且 $b_1, b_2, b_3 \in\{2,3,4,5,8\}$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 删去数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的 $b_{a_4}$ 项 (其中 $k=1,2,3, \cdots$ ), 保持剩余项的顺序不 变, 组成新数列 $\left\{c_n\right\}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 10 项和 $T_{10}$.
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 2 , 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=2, b_2=3, a_n b_{n+1}-a_n=2^n b_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $S_n$ 为数列 $\left\{\frac{b_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 证明: $1 \leqslant S_n < 3$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n \neq 0,\left(1+3 a_1\right)\left(1+3 a_2\right)\left(1+3 a_3\right) \cdots\left(1+3 a_n\right)=a_n\left(n \in N^*\right)$.
(1)证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 是等差数列;
(2)求数列 $\left\{a_n a_{n+1}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $\frac{1}{8} S_n=2^{n-2}-\frac{1}{4}$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $b_n=\frac{a_{n+1}}{\left(a_n-1\right) \cdot\left(a_{n+1}-1\right)}$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 若不等式 $2\left(2^{n+1}-1\right) T_n < \lambda+$ $a_n^2$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$ 恒成立, 求实数 $\lambda$ 的取值范围.
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_1=1, a_2=\frac{2}{3}$, 且数列 $\left\{4 n S_n+(2 n+3) a_n\right\}$ 是等差数列.
(1) 证明: $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是等比数列, 并求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $b_n=\left\{\begin{array}{c}3^{n-1} \cdot a_n, n \text { 为奇数 } \\ \frac{n}{a_n}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$.
将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作 $a_1 ， a_2 ， \cdots$. 比如 $a_1=2 ， a_2=3 ， a_3=5$ ， . 求证: 对任意正整数 $n$ ，都有 $\left|a_n-n-\sqrt{n}\right| < \frac{1}{2}$.
已知 $n$ 个整数使 $x_1^3 x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3=2008$, 求 $n$ 的最小值.
从等差数列 $2 ， 5 ， 8 ， 11 ， \ldots$, 中抽取 $k$ 个数，使它们的倒数之和为 1 ，求 $k$ 的最小值.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n=\frac{S_n+1}{2}$, 首项为 1 的正项数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdots \cdot b_n=$ $\left(a_n \cdot b_m\right)^n$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{(2 n-1) b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
设 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 其中 $a_1=1$, 且 $\frac{S_n}{a_n}=\lambda a_{n+1}\left(n \in \boldsymbol{N}^*\right)$.
(1) 求常数 $\lambda$ 的值, 并写出 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $T_n$ 为数列 $\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若对任意的 $n \in N^*$, 都有 $\left|p T_n-2\right| \leq 1$, 求实数 $p$ 的取值范 围。
已知数列 $\{a n\}$ 满足 $a _{n+1}=\frac{6 a_n-4}{a_n+2}$, 且 $a_l=3\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$.
(1)证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_n-2}\right\}$ 是等差数列;
(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, $b_n= \begin{cases}a_n-6, & n \text { 为奇数, } \\ 2 a_n, & n \text { 为偶数. }\end{cases}$ $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $S_4=32, T_3=16$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
（2）证明: 当 $n>5$ 时, $T_n>S_n$.
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d$, 且 $d>1$, 令 $b_n=\frac{n^2+n}{a_n}$, 记 $S_n, T_n$ 分别为数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
(1) 若 $3 a_2=3 a_1+a_3, S_3+T_3=21$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $\left\{b_n\right\}$ 为等差数列, 且 $S_{99}-T_{99}=99$, 求 $d$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中， $a_2=1$ ，设 $S_n$ 为 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_n=n a_n$
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
(2) 求数列 $\left\{\frac{a_n+1}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$
已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $a_2+a_5=16, a_5-a_3=4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式和 $\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$.
(2) 已知 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列, 对于任意 $k \in N^*$, 若 $2^{k-1} \leq n \leq 2^k-1$, 则 $b_k < a_n < b_{k+1}$,
(I) 当 $k \geq 2$ 时, 求证: $2^k-1 < b_k < 2^k+1$;
(II) 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和.
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $2 a_2+a_3+a_5=20$, 且前 10 项和 $S_{10}=100$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\frac{1}{a_n a_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和.
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 的首项为 1 , 且 $x_1+\dfrac{x_2}{2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}}{2^{n-2}}+\dfrac{x_n}{2^{n-1}}=\dfrac{n x_{n+1}}{2^n}$.
(1) 求数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\frac{1}{2}(2 n+1)\left(x_{n+1}-x_n\right), S_n$ 为 $\left\{b_n\right\}$ 前 $n$ 项的和, 求 $S_n$.
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=3$, 且 $a_n\left(a_{n+1}^2-1\right)=2\left(a_n^2-1\right) a_{n+1}, n \in N^*$.
(1) 设 $b_n=a_n-\frac{1}{a_n}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 设 $c_n=a_n^2+\frac{1}{a_n^2}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$, 并确定最小正整数 $n$, 使得 $T_n$ 为整数.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_3=620, S_{n+1}=5 S_n+20$.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\log _5 \frac{a_n}{4}$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求 $\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}+\frac{1}{T_3}+\cdots$
$$
+\frac{1}{T_n} .
$$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等比数列, 且 $a_2+a_3=12, a_1 \cdot a_4=27$.
( I) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(II) 设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, $b_n=\frac{a_{n+1}}{S_n S_{n+1}}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
记 $S_n$ 是等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $S_5=-35, S_7=-21$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式, 并求 $S_n$ 的最小值;
(2) 设 $b_n=\left|a_n\right|$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 对任意正整数 $n$, 有 $2 S_n=(n+2)\left(a_n-1\right)$.
(1) 证明: 数列 $\left\{\frac{a_n+1}{n+1}\right\}$ 为常数列;
(2) 求数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n+a_{n-1}=2 n\left(n \geqslant 2, n \in \mathrm{N}^*\right)$.
(1) 记 $b_n=a_{2 n}$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公比 $q>1$ 的等比数列, 前三项和为 39 , 且 $a_1, a_2+6, a_3$ 成等差数列.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2)设 $b_n=\frac{1}{\log _3 a_{2 n-1} \cdot \log _3 a_{2 n+1}}\left(n \in N^{\star}\right)$, 求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.
在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1=2$, 且 $a_1, a_3+1, a_4$ 成等差数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $b_n=\frac{2^n}{\sqrt{a_n-1}+\sqrt{a_{n+1}-1}}, n \in \mathbf{N}^*$, 数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 求不等式 $T_n < 10$ 的解集.