解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
数列 $\left\{a_n\right\}$ 是正项等比数列, 已知 $a_1=2$ 且 $a_3, 3 a_2, a_4$ 成等差数列.
(1) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 若 $b_n=\log _2 a_n, c_n=\frac{b_{n+1}^2-b_n}{b_n^2+b_n}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的各项均为正数, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_n^2-2 S_n \cdot a_n+1=0$.
(1) 求 $a_n$ 和 $S_n$;
(2) 若 $n \geqslant 3$, 证明: $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}+\ldots+\frac{1}{S_n^2}>2\left(1-\frac{1}{2^4}\right)$.
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$, 有 $S_n=n\left(a_n+n-1\right)$.
(1) 证明: $\left\{a_n \mid\right.$ 是等差数列;
(2) 若当且仅当 $n=7$ 时, $S_n$ 取得最大值, 求 $a_1$ 的取值范围.
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足:
$$a_1=1, a_2=8, a_{2 n-1}+a_{2 n+1}=\log _2 a_{2 n}, a_{2 n} a_{2 n+2}=16^{a_{2 n+1}}$$
(1) 证明: $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 是等差数列;
(2) 记 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_n>2023$, 求 $n$ 的最小值.
等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_2=6, a_4+a_5=27$. 等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 为递增数列, 且 $b_1, b_2, b_3 \in\{2,3,4,5,8\}$.
(1)求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 删去数列 $\left\{b_n\right\}$ 中的 $b_{a_4}$ 项 (其中 $k=1,2,3, \cdots$ ), 保持剩余项的顺序不 变, 组成新数列 $\left\{c_n\right\}$, 求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 10 项和 $T_{10}$.
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 2 , 数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=2, b_2=3, a_n b_{n+1}-a_n=2^n b_n$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $S_n$ 为数列 $\left\{\frac{b_n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 证明: $1 \leqslant S_n < 3$.