已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定 患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面 是两种化验方法:
方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止.
方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动 物为这 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果 呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验.
( I ) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(III) $\xi$ 表示依方案乙所需化验次数, 求 $\xi$ 的期望.
甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利, 比赛结束, 假设在一局中, 甲获胜的概率为 $0.6$, 乙获胜的概率为 $0.4$, 各局比赛结果相互独立, 已知前 2 局中, 甲、乙各胜 1 局.
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率;
（II ) 设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数, 求 $\xi$ 的分布列及数学期 望.
一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 $n$. 如果 $n=3$, 再从这批产品中任 取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验 如果 $n=4$, 再从这批产 品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 $50 \%$, 即取出的产品是 优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$, 且各件产品是否为优质品相互独立.
(I) 求这批产品通过检验的概率;
(II ) 已知每件产品检验费用为 100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这批 产品作质量检验所需的费用记为 $\mathrm{X}$ (单位: 元), 求 $\mathrm{X}$ 的分布列及数学期望.
自 2021 年始, 我市高考综合改革整体实施, 普通高校招生统一考试实施 “3+1+2” 考试, “3” 指全国统 一考试语文、数学、外语 3 科. 其中数学考试中的第 9 题到第 12 题这 4 道选择题为多项选择题, 其评分规 则为选项中有多项符合题目要求, 若全部选对的得 5 分, 若有选错的得 0 分, 若部分选对的得 2 分. 已知 考生甲做多项选择题时, 每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为 $0.3,0.2,0.5$, 且每道题 的作答情况相互独立. 设考生甲做 4 道多项选择题的总得分为随机变量 $X$.
(1) 求 $X=7$ 的概率;
(2) 已知考生甲第 9 题全部选对, 第 10 题部分选对, 求随机变量 $X$ 的分布列与期望.
某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动 并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填 空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题 作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中.
(1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率;
（2）若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答 题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选 择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.
党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向. 为讴歌中 华民族实现伟大复兴的奋斗历程, 增进高中学生对党的二十大的理解, 某校组织开展党 的二十大知识竞赛活动, 以班级为单位参加比赛, 最终甲、乙两班进行到了最后决赛, 决 赛采取五局三胜制, 约定先胜三局者贏得比赛. 已知每局比赛中必决出胜负, 每一局若 甲班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$, 若乙班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{1}{2}$, 每一局输的一 方在接下来的一局中先答题, 第一局由乙班先答题.
(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;
(2) 若规定每一局比赛中胜者得 2 分, 负者得 0 分, 记 $X$ 为比赛结束时甲班的总得分, 求 随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.
10片药片中有 5 片是安慰剂.
（1）从中任意抽取 5 片,求其中至少有 2 片是安慰剂的概率.
（2）从中每次取一片,作不放回抽样, 求前 3 次都取到安慰剂的概率.
在房间里有 10 个人, 分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章, 任选 3 人记录其纪念章的号码.
（1）求最小号码为 5 的概率.
（2）求最大号码为 5 的概率.
某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客. 问一个订货为 4 桶白漆、 3桶黑漆和 2桶红漆的顾客, 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少?
在 1500 件产品中有 400 件次品、1100 件正品. 任取 200 件.
（1）求恰有 90 件次品的概率.
（2）求至少有 2 件次品的概率.
从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的 概率是多少?
在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母, 从中任意连抽 7 张, 求其排列结果为 ability 的概率.
将 3 只球随机地放人 4 个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为 1 , 2,3 的概率.
50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 只铆钉强度太弱. 每 个部件用 3 只铆钉. 若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强 度就太弱. 问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
一倶乐部有 5 名一年级学生, 2 名二年级学生, 3 名三年级学生,2名四 年级学生.
（1）在其中任选 4 名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率.
（2）在其中任选 5 名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.
掷两颗骰子，一直两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).
据以往资料表明,㭉一 3 口之家, 患某种传架病的概率有以下规律： $P\{$ 孩子得病 $\}=0.6, P\{$ 母亲得病 $\mid$ 孩子得病 $\}=0.5$, $P\{$ 父杀得病 $\mid$ 母亲及孩子得病 $\}=0.4$, 求母亲及孩子得病但父亲末得病的概率。
某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随意地拨号. 求他拨号不 超过三次而接通所需电话的概率. 若巳知最后一个数字是奇数,那么此概率是多 少?
（1）设甲袋中装有 $n$ 只白球、 $m$ 只红球，乙袋中装有 $N$ 只白球、 $M$ 只红 球. 今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白 球的概率是多少?
（2）第一只盒子装有 5 只红球, 4 只白球; 第二只盒子装有 4 只红球, 5 只白 球. 先从第一盒中任取 2 只球放人第二盒中去, 然后从第二盒中任取一只球. 求 取到白球的概率.
某种产品的商标为 “MAXAM”,其中有 2 个字母脱落, 有人捡起随意放回,求放回后仍为 “MAXAM" 的概率.
已知男子有 $5 \%$ 是色斍恋者, 女子有 $0.25 \%$ 是色面患者. 今从男女人数 相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色斍者, 问此人是男性的概率是多少?
一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为 $p$, 若第一 次及格则第二次及格的概率也为 $p$; 若第一次不及格则第二次及格的概率为 $\frac{p}{2}$.
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率.
（2）若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.
有两箱同种类的零件,第一箱装 50 只, 其中 10 只一等品 $;$ 第二箱装 30 只, 其中 18 只一等品. 今从两箱中任挑出一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次 任取一只,作不放回抽样, 求
(1) 第一次取到的零件是一等品的概率.
(2) 在第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的 概率.
甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛, 规定每局比赛胜者得 1 分, 负者得 0 分, 平局双方均得 0 分, 比赛一直 进行到一方比另一方多两分为止, 多得两分的一方赢得比赛. 已知每局比赛中, 甲获胜的概率为 $\alpha$, 乙获 胜的概率为 $\beta$, 两人平局的概率为 $\gamma(\alpha+\beta+\gamma=1, \alpha>0, \beta>0, \gamma \geqslant 0)$, 且每局比赛结果相互独立.
(1) 若 $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=\frac{1}{3}, \gamma=\frac{1}{6}$, 求甲学员恰好在第 4 局比赛后赢得比赛的概率;
(2) 当 $\gamma=0$ 时, 若比赛最多进行 5 局, 求比赛结束时比赛局数 $X$ 的分布列及期望 $E(X)$ 的最大值.
甲从 $[0,2017]$ 中任取一实数, 乙从 $[0,4034]$ 中任取一实数, 求乙所取的数大于甲的概率。
受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有 $8 \%, 6 \%, 4 \%$的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为 $4: 6: 10$, 现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原体肺炎病毒, 求他来自甲市的概率.
$A, B, C, D$ 四人进行羽毛球单打循环练习赛, 其中每局有两人比赛, 每局比赛结束时, 负的一方下场, 第 1 局由 $A, B$ 对赛, 接下来按照 $C, D$ 的顺序上场第 2 局、第 3 局(来替换负的那个人), 每次负的人其上场顺序排到另外 2 个等待上场的人之后(即排到最后一个), 需要再等 2 局(即下场后的第 3 局)才能参加下一场练习赛. 设各局中双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$, 各局比赛的结果相互独立.
(1)求前 4 局 $A$ 都不下场的概率;
(2)用 $X$ 表示前 4 局中 $B$ 获胜的次数, 求 $X$ 的分布列和数学期望.