解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定 患病的动物. 血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性即没患病. 下面 是两种化验方法:
方案甲: 逐个化验, 直到能确定患病动物为止.
方案乙: 先任取 3 只, 将它们的血液混在一起化验. 若结果呈阳性则表明患病动 物为这 3 只中的 1 只, 然后再逐个化验, 直到能确定患病动物为止; 若结果 呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验.
( I ) 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(III) $\xi$ 表示依方案乙所需化验次数, 求 $\xi$ 的期望.
甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利, 比赛结束, 假设在一局中, 甲获胜的概率为 $0.6$, 乙获胜的概率为 $0.4$, 各局比赛结果相互独立, 已知前 2 局中, 甲、乙各胜 1 局.
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率;
（II ) 设 $\xi$ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数, 求 $\xi$ 的分布列及数学期 望.
一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 $n$. 如果 $n=3$, 再从这批产品中任 取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验 如果 $n=4$, 再从这批产 品中任取 1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 $50 \%$, 即取出的产品是 优质品的概率都为 $\frac{1}{2}$, 且各件产品是否为优质品相互独立.
(I) 求这批产品通过检验的概率;
(II ) 已知每件产品检验费用为 100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这批 产品作质量检验所需的费用记为 $\mathrm{X}$ (单位: 元), 求 $\mathrm{X}$ 的分布列及数学期望.
自 2021 年始, 我市高考综合改革整体实施, 普通高校招生统一考试实施 “3+1+2” 考试, “3” 指全国统 一考试语文、数学、外语 3 科. 其中数学考试中的第 9 题到第 12 题这 4 道选择题为多项选择题, 其评分规 则为选项中有多项符合题目要求, 若全部选对的得 5 分, 若有选错的得 0 分, 若部分选对的得 2 分. 已知 考生甲做多项选择题时, 每道题全部选对、有选错的、部分选对的概率分别为 $0.3,0.2,0.5$, 且每道题 的作答情况相互独立. 设考生甲做 4 道多项选择题的总得分为随机变量 $X$.
(1) 求 $X=7$ 的概率;
(2) 已知考生甲第 9 题全部选对, 第 10 题部分选对, 求随机变量 $X$ 的分布列与期望.
某学校为了迎接党的二十大召开, 塭进全体教职工对党史知识的了解, 组织开展党史知识竞赛活动 并以支部为单位参加比赛. 现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中, 甲箱有 5 个选择题和 3 个填 空题, 乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题, 比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题 作答.每个支部先抽取一题作答, 答完后题目不放回纸箱中, 再抽取第二题作答, 两题答题结束后, 再将这两个题目放回原纸箱中.
(1) 如果第一支部从乙箱中抽取了 2 个题目, 求第 2 题抽到的是填空题的概率;
（2）若第二支部从甲箱中抽取了 2 个题目, 答题结束后错将题目放入了乙箱中, 接着第三支部答 题, 第三支部抽取第一题时, 从乙箱中抽取了题目. 已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选 择题, 求第二支部从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率.
党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向. 为讴歌中 华民族实现伟大复兴的奋斗历程, 增进高中学生对党的二十大的理解, 某校组织开展党 的二十大知识竞赛活动, 以班级为单位参加比赛, 最终甲、乙两班进行到了最后决赛, 决 赛采取五局三胜制, 约定先胜三局者贏得比赛. 已知每局比赛中必决出胜负, 每一局若 甲班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$, 若乙班先答题, 则甲获胜的概率为 $\frac{1}{2}$, 每一局输的一 方在接下来的一局中先答题, 第一局由乙班先答题.
(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;
(2) 若规定每一局比赛中胜者得 2 分, 负者得 0 分, 记 $X$ 为比赛结束时甲班的总得分, 求 随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.