一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列级数中发散的级数是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列, 下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
下列计算极限的过程正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^2+1}-\lim _{x \rightarrow+\infty} x=\infty-\infty=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x}=0$.
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x}}{\lim _{x \rightarrow+\infty} x}=\frac{\infty}{\infty}=1$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x}{x^2+x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(x-1)}{x(x+1)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x+1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 0}(x-1)}{\lim _{x \rightarrow 0}(x+1)}=\frac{-1}{1}=-1$.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n=2, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=5$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 等于
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 7
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
设 $u_n \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_n}=1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能判定.
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x < 0,\end{array} S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周 期的傅里叶级数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n=$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$.
设有下列命题
(1) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ), 则 $x_n$ 有界.
(2) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(3) 数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.
(4) 数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在 $\Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}^{n \rightarrow \infty}}{x_n}=1$.
则以上命题中正确的个数是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots \cdots, \sqrt[n]{n} $ 的最大项为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{B.}$ $\sqrt[3]{3}$.
$\text{C.}$ $\sqrt[4]{4}$.
$\text{D.}$ $\sqrt[5]{5}$
设 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x < 1$, 而 $S(x)=\sum_{n=1} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$, 其中 $b_n$ $=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $n$ 为正整数, 则 $f(x)=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n !}\right) \mathrm{e}^{-x}$ 的极值问题是
$\text{A.}$ 有极小值
$\text{B.}$ 有极大值
$\text{C.}$ 既无极小值也无极大值
$\text{D.}$ $f(x)$ 是否有极值依赖于 $n$ 的具体取值
球状网作为一名秘密任务的长官, 你和首席科学家大宝有如下的谈话。
科学家: “长官, 我们已经掌握了球状闪电的控制规律, 我们发现实验室中的球状闪电半径 的变化率 $v(t)$ 满足如下的方程。
$$
v=a r+r^3-r^5
$$
这里 $r(t)$ 表示球状闪电的半径, 而 $t$ 是时间变量。初始时刻, 没有球状闪电, 即 $r(0)=0$ 。相 应地, 我们也有 $v(0)=0$ 。而 $a \in \mathbb{R}$ 可以被人为控制, 您可以通过拉动一个控制杆来迅速的 改变 $a$ 的值。我们给它的预设值是 $a=-1$ 。”
你: “做的漂亮, 博士! $a$ 是我们的唯一控制方式吗? 这似乎并不能把球状闪电启动起 来。”
科学家: “您说的对, 长官。我们的确有另一个控制方式, 就是踢一下仪器。” 你: “博士, 您没开玩笑吧? 踢一下?”
科学家: “没错, 如果踢一下的话, $r(t)$ 的值就会瞬间提高 $\varepsilon(\varepsilon$ 远小于 1$) 。 ”$
你: “明白了, 这的确有帮助。我们今天的测试目标是启动球状闪电, 让它的半径严格超 过 $\sqrt{2}$, 再让它逐渐完全消失。”
科学家: “是的, 长官。我们为此设计了四个控制方案。
请问长官您觉得这些方案如何? ”
你看了一下这些选项, 发现其中可行的方案有
$\text{A.}$ 设置 $a=2$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ 设置 $a=3$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{3}$;
$\text{C.}$ 设置 $a=4$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{4}$;
$\text{D.}$ 设置 $a=5$, 踢一下仪器, 等球状闪电半径严格超过 $\sqrt{2}$, 再设置 $a=-\frac{1}{5}$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
将函数 $f(x)=x(x-2) \quad(0 \leq x \leq 2)$ 展开成周期为 4 的正弦级数, 其和函数为 $S(x)$, 则 $S(-3)=$
$y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^p}$, 当 $p$ 满足 （ ） 条件时级数条件收敛
设 $f(x)=x^{2021} e^{2020 x} \sin x$ ，则 $f^{(2023)}(0)=$
当 $a$ 满足 ________ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{1-2 a}}$ 条件收敛.
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n 3^n} x^n$ 的收敛域为
三、解答题 （ 共 20 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
将函数 $f(x)=\frac{x-2}{2+x}$ 展开成 $(x-2)$ 的幂级数, 并指出其收敛域.
设 $a_n=\int_1^{\mathrm{e}}(\ln x)^{\sqrt{n}} \mathrm{~d} x$, 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 收敛
设函数 $f(x)$ 的定义域是全体实数, 并且 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 并且 $f(x)$ 可导。
(1) 证明: 对于 $\forall a$, 都有 $\left\{\begin{array}{l}\int_{-\pi}^\pi f(x+a) \sin n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin (n x-n a) \mathrm{d} x \\ \int_{-\pi}^\pi f(x+a) \cos n x \mathrm{~d} x=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos (n x-n a) \mathrm{d} x\end{array}\right.$ 成立
(2) 用 (1) 以及傅里叶级数理论证明: 若 $f(x)=f(x+\sqrt{3})$, 则 $f(x)$ 为常函数。
设 $x_1>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{1}{x_n}\right), n=1,2, \cdots$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t$, 求 $f^{(n)}(0)$ 的值 $(n \geq 2)$
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性, 并指出是条件收敛还是绝对收敛。
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求其成立的区间。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1) !}$ 的和函数。
设三角形的三个内角分别为 $A, B, C$ ，求$3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C$的最大值.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \\ 1, x=0 .\end{array}\right.$
证明: (1) 对任意的自然数 $n \geq 2$ ，存在唯一的 $x_n \in(0,1)$ ，使得
$$
\int_{\frac{1}{n}}^{x_n} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_n}^1 \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x .
$$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛).
设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且以 $T>0$ 为周期的连续函数， 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)}{x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) \mathrm{d} x
$$
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x, a_n=\int_0^{n \pi}|f(x)| \mathrm{d} x(n-1$, $2, \cdots)$.
(1) 求 $a_n$;
(2) 求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域与和函数.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x d x, n=0,1,2 \cdots$, (I) 求 $I_n$; (II) 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(n^2+3 n+3\right) I_n$ 的和.
求 $S=\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$.
判断 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性; 若收敛, 指出是绝对收敛还是条件收敛.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域及和函数.
设 $f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$, 求 $f^{(n)}(x)$, 并证明 $\sum_{n=1} \frac{n !}{f^{(n)}(0)}$ 收敛
证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{2 n}\right) \cdot \ln \left(1+\frac{1}{2 n+1}\right)$ 收敛, 并求其 和,