2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $a_n=\int_1^{\mathrm{e}}(\ln x)^{\sqrt{n}} \mathrm{~d} x$, 证明: 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$ 收敛

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答案：

$$
\begin{aligned}
& \text { 证 } \because a_n=\int_1^e(\ln x)^{\sqrt{n}} \mathrm{~d} x=\left[\int_0^1 u^{\sqrt{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{u}} \mathrm{d} u\right]_{u=\ln x} \\
& \leq \mathrm{e} \int_0^1 u^{\sqrt{n}} \mathrm{~d} u=\frac{\mathrm{e}}{\sqrt{n}+1} < \frac{\mathrm{e}}{\sqrt{n}} \\
& \therefore 0 \leq \frac{a_n}{n} < \frac{\mathrm{e}}{n^{\frac{3}{2}}} \\
& \because \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}}{n^{\frac{3}{2}}} \text { 收敛 } \\
& \therefore \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \text { 收敛 } \\
&
\end{aligned}
$$

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