单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上非负，在 $(a, b)$ 内
$$
\begin{gathered}
f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x) < 0 . \quad I_1=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], \\
I_2=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, I_3=(b-a) f(b)
\end{gathered}
$$
则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 ( ).
$\text{A.}$ $I_1 \leq I_2 \leq I_3$
$\text{B.}$ $I_1 \leq I_3 \leq I_2$
$\text{C.}$ $I_2 \leq I_3 \leq I_1$
$\text{D.}$ $I_3 \leq I_2 \leq I_1$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知平面上的函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=2(y-2)$, 且
$$
f(x, x)=(x-2)^2+(x-2) \ln x,
$$
求函数 $f(x, y)$ 的解析式, 并求曲线 $f(x, y)=0$ 绕直线 $y=2$ 旋转一周所形成的旋转体的体积.
若 $f(x)$ 连续，且 $f(0)=2$ ，又函数
$$
F(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{cases}
$$
连续，则 $a=$
设 $y(x)=\int_x^{4 x} \sin \left((x-t)^2\right) \mathrm{d} t$ ，求 $y^{\prime}(x)$.
交换二次积分的次序: $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x=$
已知正四面体 $O-A B C$ (就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率增大 (过程中 仍然保持正四面体), 那么当棱长变为 $3 \mathrm{~cm}$ 的时候该正四面体表面积的增大速率为
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $\frac{f(x)}{F(x)}=-2, F(0)=1$ ，
则 $\int_0^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$, 其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
计算定积分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^2 x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$.
设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 试求:
(1) $F(x)$ 的极值；
(2)曲线 $y=F(x)$ 的拐点的横坐标;
(3) $\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数，且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=\frac{27}{2},
$$
证明: $\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x>2021$.
求 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x} \mathrm{~d} z \int_0^{1-x-z}(1-y) e^{-(1-y-z)^2} \mathrm{~d} y$.
某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产 $x$ 件甲产品和 $y$ 件乙产品的总成本为 $C=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ (万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分 析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。
求 $\int \frac{x+1}{x\left(1+x e^x\right)} d x$
一个立体以圆域 $x^2+y^2 \leq 1$ 为底，且该立体与 $x$ 轴垂直的截面均为正方形，求该立体的 体积。
求圆盘 $x^2+y^2 \leq a^2$ 绕直线 $y=-b(0 < a < b)$ 转一周得到的旋转体体积。