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yan8

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x)

在

[a, b]

上非负，在

(a, b)

内

\begin{matrix} f^{''} (x) > 0, f^{'} (x) < 0 . I_{1} = \frac{b - a}{2} [f (a) + f (b)], \\ I_{2} = \int_{a}^{b} f (x) d x, I_{3} = (b - a) f (b) \end{matrix}

则

I_{1}, I_{2}, I_{3}

的大小关系为 ( ).

A.

I_{1} \leq I_{2} \leq I_{3}

B.

I_{1} \leq I_{3} \leq I_{2}

C.

I_{2} \leq I_{3} \leq I_{1}

D.

I_{3} \leq I_{2} \leq I_{1}

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lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + i^{2}} =

A.

\frac{π}{4}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{π}{2}

D.

π

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3. 设

f (x)

连续,且

f (0) = 0

f^{'} (0) = 2

, 则

A.

B.

-3

C.

D.

-2

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\frac{d^{2}}{d x^{2}} \int_{x}^{2 x} t e^{- (x - t)^{2}} d t =

A.

x e^{- x^{2}}

B.

- x e^{- x^{2}}

C.

e^{- x^{2}}

D.

- e^{- x^{2}}

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5. 下列反常积分收敛的是

A.

\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x} (x - 1)}

B.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{\sqrt{x}}{1 + x \sqrt{x}} d x

C.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{\sqrt{x^{2} - x}}

D.

\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x - x^{2}}}

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二、填空题（共 16 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 已知平面上的函数

f (x, y)

满足

\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = 2 (y - 2)

, 且

f (x, x) = (x - 2)^{2} + (x - 2) \ln x,

求函数

f (x, y)

的解析式, 并求曲线

f (x, y) = 0

绕直线

y = 2

旋转一周所形成的旋转体的体积.

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7. 若

f (x)

连续，且

f (0) = 2

，又函数

F (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} f (t) d t, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

连续，则

a =

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8. 设

y (x) = \int_{x}^{4 x} \sin ((x - t)^{2}) d t

，求

y^{'} (x)

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9. 交换二次积分的次序:

\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x =

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10. (1)

\int_{0}^{2} x^{3} e^{x^{2}} d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int_{0}^{\ln 2} \sqrt{e^{x} - 1} d x = \underset{―}{} .

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11. (1)

\int_{- 1}^{1} (x^{2} \sin x + x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}) d x =

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12. (1)

\int_{0}^{π} \sqrt{1 - \sin 2 x} d x = \underset{―}{}

.

(2)

\int_{- π}^{π} (x + | x |) \sin x d x = \underset{―}{}

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13. (1)

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} = \underset{―}{}

.
(2)

\int_{0}^{1} \frac{d x}{x + \sqrt{1 - x^{2}}} = \underset{―}{}

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14. (1)

lim_{n \to \infty} [\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}] = \underset{―}{}

.

(2)

lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n}) = \underset{―}{}

.

(3)

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n}) = \underset{―}{}

.

(4)

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n^{2}} e^{\frac{i}{n}} = \underset{―}{}

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15. 设

f (x)

连续,则

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} t f (x^{2} - t^{2}) d t = \underset{―}{}

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16.

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t - x}{\tan x - \sin x} = \underset{―}{}

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17. 设

f (x)

连续且

f (0) = 0

f^{'} (0) = 3

, 则

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f (x - t) d t}{x - \ln (1 + x)} = \underset{―}{}

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18. 9.

\int_{0}^{2} \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}} = \underset{―}{}

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19. 设

L : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

, 则

L

绕

x

轴和

y

轴旋转一周的几何体体积分别为

V_{x} = \underset{―}{}

，

V_{y} = \underset{―}{}

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20. 已知正四面体

O - A B C

(就是每个面都是全等的等边三角形) 的边长以

1 cm / s

的速率增大 (过程中仍然保持正四面体), 那么当棱长变为

3 cm

的时候该正四面体表面积的增大速率为

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21. 设

F (x)

是

f (x)

的一个原函数，且

\frac{f (x)}{F (x)} = - 2, F (0) = 1

，
则

\int_{0}^{+ \infty} F (x) d x =

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三、解答题（共 19 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 计算曲面积分

I = \oint_{Σ} \frac{x d y d z + y d z d x + z d x d y}{{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}

, 其中

Σ

是曲面

2 x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} = 4

的外侧.

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23. 计算定积分

\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} x}{1 + e^{- x}} d x

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24. 设

F (x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t

, 试求:
(1)

F (x)

的极值；
(2)曲线

y = F (x)

的拐点的横坐标;
(3)

\int_{- 2}^{3} x^{2} F^{'} (x) d x

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25. 设函数

f (x)

为

[0, 1]

上的连续函数，且

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1, \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{27}{2},

证明:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x > 2021

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26. 求

I = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} d z \int_{0}^{1 - x - z} (1 - y) e^{- (1 - y - z)^{2}} d y

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27. 某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产

x

件甲产品和

y

件乙产品的总成本为

C = 400 + 2 x + 3 y + 0.01 (3 x^{2} + x y + 3 y^{2})

(万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

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28. 计算

\int_{- π}^{π} (\sin^{4} x + x \cos^{2} x) d x

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29. 计算

\int_{- 1}^{1} (x^{2} + \sin^{3} x) \sqrt{1 - x^{2}} d x

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30. (1)设

f (x)

在

[- a, a]

上连续,证明:

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} [f (x) + f (- x)] d x

；
(2)计算

\int_{- π}^{π} \frac{\sin^{2} x}{1 + e^{x}} d x

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31. (1)设

f (x)

在

[0, 1]

上连续,证明:

\int_{0}^{π} f (\sin x) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d x

.

(2)设

f (x)

在

[0, 1]

上连续,证明:

\int_{0}^{π} x f (\sin x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} f (\sin x) d x

.

(3)计算

\int_{- π}^{π} (x + | x |) = \int_{1}^{x} e^{- t^{2}} d t

, 求

\int_{0}^{1} x^{2} f (x) d x

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32. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续,证明:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

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33. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续,证明:

\int_{a}^{b} f (x) d x = (b - a) \int_{0}^{1} f [a + (b - a) x] d x

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34. 判断广义积分

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}}

的敛散性，若收敛求其值.

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35. 计算下列广义积分.
(1)

\int_{0}^{+ \infty} x^{5} e^{- x^{2}} d x

.

(2)

\int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

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36. 求椭圆

L : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

所围成的面积.

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37. 设曲线

C : y = \sqrt{2 x - x^{2}}

与

x

轴围成区域

D

，
(1)求区域

D

的面积；
(2)求区域

D

绕

x

轴旋转一周而成的几何体的体积；
(3)求区域

D

绕

x = 2

旋转一周所得的几何体的体积.

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38. 求

\int \frac{x + 1}{x (1 + x e^{x})} d x

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39. 一个立体以圆域

x^{2} + y^{2} \leq 1

为底，且该立体与

x

轴垂直的截面均为正方形，求该立体的体积。

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40. 求圆盘

x^{2} + y^{2} \leq a^{2}

绕直线

y = - b (0 < a < b)

转一周得到的旋转体体积。

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