设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上非负,在 $(a, b)$ 内
$$
\begin{gathered}
f^{\prime \prime}(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0 . \quad I_1=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)], \\
I_2=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, I_3=(b-a) f(b)
\end{gathered}
$$
则 $I_1, I_2, I_3$ 的大小关系为 ( ).
$ \text{A.} $ $I_1 \leq I_2 \leq I_3$ $ \text{B.} $ $I_1 \leq I_3 \leq I_2$ $ \text{C.} $ $I_2 \leq I_3 \leq I_1$ $ \text{D.} $ $I_3 \leq I_2 \leq I_1$
【答案】 D

【解析】 【参考解析】由已知条件 $f^{\prime \prime}(x) > 0, f^{\prime}(x) < 0$ ,可知函数 $f(x)$ 描述的曲线为单调递减的凹曲线,曲线位于曲线两个端 点的连线之下. 其中 $I_1$ 为两个端点的连线构成的梯形的面积 大于曲边题型的面积 $I_2: I_1 > I_2$ ,而 $f(b)$ 为右端点的对应
梯形的高,乘以区间为矩形的面积,所以 $I_3$ 小于曲边梯形的面 积 $I_2: I_2 > I_3$ ,所以有 $I_1 > I_2 > I_3$ ,所以答案选 【D】.
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