已知平面上的函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=2(y-2)$, 且
$$
f(x, x)=(x-2)^2+(x-2) \ln x,
$$
求函数 $f(x, y)$ 的解析式, 并求曲线 $f(x, y)=0$ 绕直线 $y=2$ 旋转一周所形成的旋转体的体积.
【答案】 【解】由 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=2(y-2)$, 得 $f(x, y)=(y-2)^2+C(x)$, 于是有
$$
f(x, x)=(x-2)^2+C(x),
$$
从而 $C(x)=(x-2) \ln x$, 即 $f(x, y)=(y-2)^2+(x-2) \ln x$.

令 $f(x, y)=(y-2)^2+(x-2) \ln x=0$, 得 $(y-2)^2=(2-x) \ln x$, 解 $\left\{\begin{array}{c}(y-2)^2=(2-x) \ln x \\ y=2\end{array}\right.$, 得交点坐标为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2\end{array}\right.$ 与 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$.
于是所求旋转体的体积为
$$
V=\pi \int_1^2(y-2)^2 \mathrm{~d} x=\pi \int_1^2(2-x) \ln x \mathrm{~d} x=\pi\left(2 \ln 2-\frac{5}{4}\right) .
$$


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