一、单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
1. 由抛物线 与直线 围成平面图形的面积 .
.
.
2. 由不等式 所确定的平面区域的面积 .
.
.
.
3. 由星形线 围成的平面图形的面积 .
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4. 抛物线 及其在点 处的法线所围成的图形的面积为
5. 曲线 与其渐近线之间图形的面积为
1
2
4
6
6. 设 , 则
7. 极限 等于
1
2
4
8
8. 设 , 则 在 上的最大值为
9. 设封闭曲面 均取外侧, 则第二类曲面积分 中, 最大的是
.
.
.
.
10. 曲线 与 轴所围图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为
二、填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
11. 设 为 上的非负连续函数, 且满足 , 则 在 区间 上的平均值为
13. 计算极限 .
14. 由曲线段 ， 绕 轴旋转一周所成旋转面的面积为
15. 已知平面曲线 ，其绕 轴旋转一周形成旋转曲面，则该旋转曲面与平面 所围成的空间几何形体的体积为?
三、解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
16. 证明: .
17. 设 满足条件 及 , 求直线 与抛物线 所围 成区域的面积的最大值与最小值.
18. 多元设 , 试问参数 分别满足什么条件时, 有唯一极大值? 有唯一极小值?
19. 证明: .
20. 设某厂生产甲、乙两种产品, 其销售单价分别为 10 万元、 9 万元。若生产 件甲 种产品和 件乙种产品的总成本为 万元。 又已知两种产品的总产量为 100 件, 问两种产品的产量各为多少时, 企业利润最大?
21. 证明题 设 在 上可微, 且 , 试证存在 , 使 .
22. 讨求曲线 与 轴所围成区域的面积.
23. 求积分
，
其中 为曲线 从 到 段。
24. 设 为 与 轴围成的有界区域。
( I ) 求 的面积；
(II) 求 绕 轴旋转一周所成旋转体体积。
25. 设 , 计算三重积分
26. 已知 是空间曲线 绕 轴旋转生成的椭球面的 上半部分 ， 取上侧， 是 在 点处的切平面， 是原点到切平面 的距离， 表示 的正法向的方 向余弦，计算:
(1) ;
(2) .
27. 设函数 在点 处沿着从点 到点 的方向 的方向导数为 .
(I) 求曲面 与平面 的交线在 面上的投影曲线绕 轴旋转一周所得旋转 曲面 的方程;
(II) 求函数 在曲面 位于 的部分上沿方向 的方向导数的最小值.
28. 求抛物线 与直线 及 轴在第一象限所围成的平面图形的面积 及该平面图形绕 轴旋转所成的旋转体的体积 .
29. 设函数 在 内严格单调递增且可导， 为其反函数，
求 的解析式.
30. 一个底半径为 1 ，高为 6 的圆柱形水桶，在距离底部为 2 处有两个小孔，且两 个,小孔的连线与圆柱的轴线垂直相交，试问该水桶最多能盛多少水!
31. 求由平面曲线 所围成图形的面积, 及此图形绕 轴旋转所得旋转体的体积。
32. 计算 , 其中 由 和 所围。
33. 计算曲面积分
其中 是弧段 绕 轴旋转一周所得的旋转曲面, 上任一点的法向量与 轴正向夹角大于 .
34. 设 是以 为顶点且与曲面 相切的圆锥面, 求曲面 与 所围成的空间区域的体积.
35. 设曲线 经过 点, 且当 时 . 设该曲线与直线 轴所围图形的平面图形 的面积为 1 . 试求常数 的值, 使得 绕 轴一周后, 所得旋转体的体积最小.
36. 求曲线 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积.
37. 设立体区域 是由 面曲线 绕 轴旋转一周所形成的曲面和 平面所围成的点 处的密度为 , 求重心坐标.
38. 计算旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程
39. 计算由摆线 相应于 的一拱与直线 所围成的图形分别绕 轴、 轴旋转而成的旋转体体积
40. 设函数 在 内连续, 且满足 .
(1) 求 的表达式;
(2) 求曲线 与 轴围成的图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 , 并求 .