一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
由抛物线 $y=6-x^2$ 与直线 $y=3-2 x$ 围成平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{18}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{19}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{32}{3}$.
由不等式 $a^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 2 a x$ 所确定的平面区域的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\sqrt{2}\right) a^2$.
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \pi a^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) a^2$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) a^2$.
由星形线 $x=a \cos ^3 t, y=a \sin ^3 t$ 围成的平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{\pi a^2}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{5} \pi a^2$
$\text{C.}$ $\frac{\pi a^2}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{8} \pi a^2$.
抛物线 $y^2=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{5}{2} p^2$
$\text{B.}$ $5 p^2$
$\text{C.}$ $\frac{12}{5} p^2$
$\text{D.}$ $\frac{16}{3} p^2$
曲线 $y=x \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ 与其渐近线之间图形的面积为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6
设 $I_1=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\frac{4}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1 < 1 < I_2$
$\text{B.}$ $1 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_1 < I_2 < 1$
$\text{D.}$ $I_2 < 1 < I_1$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin 2 x} \ln (1+t) \mathrm{dt}}{1-\cos x}$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 8
设 $I(a, b)=\int_{-\pi}^\pi(a \cos x+2 b \sin x)^2 \mathrm{~d} x$, 则 $I(a, b)$ 在 $a^2+b^2 \leqslant 1$ 上的最大值为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $3 \pi$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $ \pi$
设封闭曲面 $\Sigma_1: x^2+y^2+z^2=1, \Sigma_2: x^2+2 y^2+z^2=1, \Sigma_3:(x-1)^2+y^2+z^2=1, \Sigma_4: x^2+y^2+$ $(z-1)^2=1$ 均取外侧, 则第二类曲面积分 $I_i=\iint_{\Sigma_i} 4 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3,4)$ 中, 最大的是
$\text{A.}$ $I_1$.
$\text{B.}$ $I_2$.
$\text{C.}$ $I_3$.
$\text{D.}$ $I_4$.
曲线 $y=\arcsin 2 \sqrt{x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2} \pi$
$\text{D.}$ $2 \pi$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数, 且满足 $f(x) \int_1^2 f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^2, x \in[0,3]$, 则 $f(x)$ 在 区间 $[1,3]$ 上的平均值为
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x\left[(3+2 \tan t)^t-3^t\right] \mathrm{d} t}{\mathrm{e}^{3 x^3}-1}$.
由曲线段 $y=\sqrt{x-\frac{1}{4}} ， x \in[1,4]$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转面的面积为
已知平面曲线 $z=4-y^2$ ，其绕 $z$ 轴旋转一周形成旋转曲面，则该旋转曲面与平面 $z=0$ 所围成的空间几何形体的体积为?
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$.
设 $a, b$ 满足条件 $a \geqslant 0, b \leqslant 0$ 及 $\int_a^b|x| \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$, 求直线 $y=a x$ 与抛物线 $y=x^2+b x$ 所围 成区域的面积的最大值与最小值.
多元设 $f(x, y)=3 x+4 y-a x^2-2 a y^2-2 b x y$, 试问参数 $a, b$ 分别满足什么条件时, $f(x, y)$ 有唯一极大值? $f(x, y)$ 有唯一极小值?
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.
设某厂生产甲、乙两种产品, 其销售单价分别为 10 万元、 9 万元。若生产 $x$ 件甲 种产品和 $y$ 件乙种产品的总成本为 $C(x, y)=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ 万元。 又已知两种产品的总产量为 100 件, 问两种产品的产量各为多少时, 企业利润最大?
证明题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$, 试证存在 $\xi \in(0,1)$, 使 $f(\xi)+\xi^{\prime}(\xi)=0$.
讨求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t-\sin t \\ y=1-\cos t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围成区域的面积.
求积分
$$
I=\int_L e^x(1-\cos y) \mathrm{d} x-e^x(y-\sin y) \mathrm{d} y ，
$$
其中 $L$ 为曲线 $y=\sin x$ 从 $O=(0,0)$ 到 $A=(\pi,0) $ 段。
设 $D$ 为 $y=\sqrt{x(1-x)}$ 与 $x$ 轴围成的有界区域。
( I ) 求 $D$ 的面积；
(II) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体体积。
设 $\Omega: x^2+y^2+2 z^2 \leq x+y+2 z$, 计算三重积分
$$
I=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} V
$$
已知 $S$ 是空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+3 y^2=1, \\ z=0\end{array}\right.$ 绕 $y$ 轴旋转生成的椭球面的 上半部分 $(z \geq 0)$ ， 取上侧， $\Pi$ 是 $S$ 在 $P(x, y, z)$ 点处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 是原点到切平面 $\Pi$ 的距离， $\lambda, \mu, v$ 表示 $S$ 的正法向的方 向余弦，计算:
(1) $\iint_S \frac{z}{\rho(x, y, z)} \mathrm{d} S$;
(2) $\iint_S z(\lambda x+3 \mu y+v z) \mathrm{d} S$.
设函数 $f(x, y)=\sqrt{\left|x^2-a y^2\right|}(a>0)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿着从点 $O$ 到点 $P(1,-1)$ 的方向 的方向导数为 $\sqrt{2}$.
(I) 求曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $y=1$ 的交线在 $z O x$ 面上的投影曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转 曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求函数 $g(x, y, z)=x^2-a y^2-z^2$ 在曲面 $\Sigma$ 位于 $x^2+y^2 \leqslant 5$ 的部分上沿方向 $(1,-1,2)$ 的方向导数的最小值.
求抛物线 $y=3-x^2$ 与直线 $y=2 x$ 及 $y$ 轴在第一象限所围成的平面图形的面积 $A$ 及该平面图形绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积 $V$.
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内严格单调递增且可导， $x=f^{-1}(y)$ 为其反函数，
$$
\forall x, y>0, x y \leq \frac{1}{2}\left[x f(x)+y f^{-1}(y)\right] .
$$
求 $f(x)$ 的解析式.
一个底半径为 1 ，高为 6 的圆柱形水桶，在距离底部为 2 处有两个小孔，且两 个,小孔的连线与圆柱的轴线垂直相交，试问该水桶最多能盛多少水!
求由平面曲线 $y=x \sin x, y=x,\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 所围成图形的面积, 及此图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
计算 $\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由 $z=3-x^2-y^2$ 和 $z=0$ 所围。
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2(1-x y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(x+1) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 y z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 是弧段 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1}, \\ y=0\end{array},(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转曲面, $\Sigma$ 上任一点的法向量与 $x$ 轴正向夹角大于 $\frac{\pi}{2}$.
设 $\Sigma_1$ 是以 $(0,4,0)$ 为顶点且与曲面 $\Sigma_2: \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{3}=1(y>0)$ 相切的圆锥面, 求曲面 $\Sigma_1$ 与 $\Sigma_2$ 所围成的空间区域的体积.
设曲线 $y=3 a x^2+2 b x+\ln c$ 经过 $(0,0)$ 点, 且当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时 $y \geqslant 0$. 设该曲线与直线 $x=1, x$ 轴所围图形的平面图形 $D$ 的面积为 1 . 试求常数 $a, b, c$ 的值, 使得 $D$ 绕 $x$ 轴一周后, 所得旋转体的体积最小.
求曲线 $y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设立体区域 $\Omega$ 是由 $O y z$ 面曲线 $y^2+z^4-4 z^2=0, z \geq 0$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $O x y$ 平面所围成的点 $(x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $z=u(x, y, z)$, 求重心坐标.
计算旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程
计算由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 相应于 $0 \leq t \leq 2 \pi$ 的一拱与直线 $y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续, 且满足 $2 f(x)+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\mathrm{e}^{-x}(\sin x-\cos x)+1$.
(1) 求 $f(x)$ 的表达式;
(2) 求曲线 $y=f(x)(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V_n$, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} V_n$.