设函数 $f(x, y)=\sqrt{\left|x^2-a y^2\right|}(a>0)$ 在点 $O(0,0)$ 处沿着从点 $O$ 到点 $P(1,-1)$ 的方向 的方向导数为 $\sqrt{2}$.
(I) 求曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $y=1$ 的交线在 $z O x$ 面上的投影曲线绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转 曲面 $\Sigma$ 的方程;
(II) 求函数 $g(x, y, z)=x^2-a y^2-z^2$ 在曲面 $\Sigma$ 位于 $x^2+y^2 \leqslant 5$ 的部分上沿方向 $(1,-1,2)$ 的方向导数的最小值.