2022浙江大学春季学期数学分析2期中测试（青春回忆版）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.

答案：

分析: 首先利用换元法, 将积分区间变为 $[0,2 \pi]$, 再将区间分割成 $[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2 \pi]$ 两个积分区域, 将后者换元后将积分区域也换成 $[0, \pi]$, 再根据函数性质判断正负性.

证明: 令 $t=x^2, x=\sqrt{t}, \mathrm{~d} x=\mathrm{d}(\sqrt{t})=\frac{1}{2 \sqrt{t}} \mathrm{~d} t$;
积分上下限为: $t_{\text {上 }}=x_{\text {上 }}^2=(\sqrt{2 \pi})^2=2 \pi, \quad t_{\text {下 }}=x_{\text {下 }}^2=0^2=0$;
$$
\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x=\int_0^{2 \pi} \frac{\sin t}{2 \sqrt{t}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{2} \int_\pi^{2 \pi} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t
$$
单独研究第二个积分 $\frac{1}{2} \int_\pi^{2 \pi} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ :
令 $u=t-\pi, \mathrm{d} u=\mathrm{d}(t-\pi)=\mathrm{d} t, \sin t=\sin (u+\pi)=-\sin u$ ；
积分上下限为: $u_{\text {上 }}=t_{\text {上 }}-\pi=2 \pi-\pi=\pi ; \quad u_{\text {下 }}=t_{\text {下 }}-\pi=\pi-\pi=0$;

$$
\frac{1}{2} \int_\pi^{2 \pi} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin u}{\sqrt{u+\pi}} \mathrm{d} u=-\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{t+\pi}} \mathrm{d} t
$$
带回原式有:
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{2} \int_\pi^{2 \pi} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t-\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t}{\sqrt{t+\pi}} \mathrm{d} t \\
& =\frac{1}{2} \int_0^\pi\left(\frac{\sin t}{\sqrt{t}}-\frac{\sin t}{\sqrt{t+\pi}}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_0^\pi\left(\frac{\sin t \cdot \sqrt{t+\pi}}{\sqrt{t} \cdot \sqrt{t+\pi}}-\frac{\sin t \cdot \sqrt{t+\pi}}{\sqrt{t} \cdot \sqrt{t+\pi}}\right) \mathrm{d} t \\
& =\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t \cdot(\sqrt{t+\pi}-\sqrt{t})}{\sqrt{t \cdot(t+\pi)}} \mathrm{d} t ;
\end{aligned}
$$

由于在 $t \in(0, \pi)$ 上 $\sin t>0$, 且 $\sqrt{t}$ 是单调递增函数, 故: $\sqrt{t+\pi}-\sqrt{t}>0$; 分母 $\sqrt{t \cdot(t+\pi)}>0$;
综上所述: $\frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{\sin t \cdot(\sqrt{t+\pi}-\sqrt{t})}{\sqrt{t \cdot(t+\pi)}} \mathrm{d} t>0$;
即: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>0$.

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