题号:
5671
题型:
填空题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数, 且满足 $f(x) \int_1^2 f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^2, x \in[0,3]$, 则 $f(x)$ 在 区间 $[1,3]$ 上的平均值为
1
人点赞
纠错
11
次查看
我来讲解
答案：
答案：
4
解析：
【分析】令 $x(t-1)=u$, 则 $x \int_1^2 f(x t-x) \mathrm{d} t=\int_0^x f(u) \mathrm{d} u$, 所以 $f(x) \int_0^x f(u) \mathrm{d} u=2 x^3$.
记 $F(x)=\int_0^x f(u) \mathrm{d} u$, 则 $F(x)$ 是 $[0,3]$ 上单调不减的可导函数, $F^{\prime}(x)=f(x) \geqslant 0$, 满足
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[F^2(x)\right]=4 x^3
$$
所以 $F^2(x)=x^4+C$. 因为 $F(0)=0$, 所以 $C=0, F(x)=x^2$. 于是, $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 上的平均值为
$$
\frac{1}{3-1} \int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}[F(3)-F(1)]=\frac{1}{2} \times(9-1)=4
$$
关闭页面
下载Word格式