2022高等数学(微积分)下册摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

某企业生髙甲、乙两种产品, 其销售単价分别为 10 万元/件、 9 万元/件, 若生产 $x$ 件甲产品和 $y$ 件乙产品的总成本为 $C=400+2 x+3 y+0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)$ (万元), 又已知两种产品的总产量为 100 件, 试建立这一问题的数学模型, 并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。

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我来讲解

答案：

解：因为企业获得的总利润 $G$ 应为总收入 $R=10 x+9 y$ 与总成本 $C$ 之差, 因此这一问题的数学模型应描述如下:
$$
\begin{aligned}
& \max G=10 x+9 y-400-2 x-3 y-0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right) \\
& \text { s.t. } \quad x+y=100
\end{aligned}
$$
这是有条件极值问题, 利用 Lagrange 乘数法,
$$
L(x, y, \lambda)=10 x+9 y-400-2 x-3 y-0.01\left(3 x^2+x y+3 y^2\right)+\lambda(x+y-100)
$$
求 $L$ 对各个变量的偏导数, 并令它们都等于 0 ,得
$$
\left\{\begin{array}{l}
L_x=10-2-0.06 x-0.01 y+\lambda=0 \\
L_y=9-3-0.06 y-0.01 x+\lambda=0 \\
L_\lambda=x+y-10=0
\end{array}\right.
$$
解上述方程组得到唯一驻点 $(70,30)$, 依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为 70 件, 产品乙产量为 30 件时企业获得最大利润。

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