若 $f(x)$ 连续,且 $f(0)=2$ ,又函数
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F(x)= \begin{cases}\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{cases}
$$
连续,则 $a=$
【答案】 2

【解析】 【参考解析】由于函数连续,当 $x \neq 0$ 时,因为 $f(x)$ 连续, 所以可积,因此变限积分 $\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t$ 可导连续,从而当 $x \neq 0$ 时函数连续,对于 $x=0$ ,函数要连续,在需要满足 $\lim _{x \rightarrow 0} F(x)=a$ ,所以有函数 $f(x)$ 的连续性和求极限的洛必 达法则:
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\begin{aligned}
a &=\lim _{x \rightarrow 0} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f(t) \mathrm{d} t}{x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^2\right) \cdot 2 x}{2 x} \\
&=\lim _{x \rightarrow 0} f\left(x^2\right)=f(0)=2
\end{aligned}
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