设 $F(x)=\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 试求:
(1) $F(x)$ 的极值;
(2)曲线 $y=F(x)$ 的拐点的横坐标;
(3) $\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.
【答案】 【参考解析】 (1) 函数 $F(x)$ 为全体实数范围内的可微函数, 因此极值点的可能位置只有驻点位置,令
$$
F^{\prime}(x)=\left[\int_0^{x^2} e^{-t^2} \mathrm{~d} t\right]^{\prime}=e^{-x^4} \cdot 2 x=0 ,
$$
有唯一驻点 $x=0$ ,并且有
$$
x < 0, F^{\prime}(x) < 0, x > 0, F^{\prime}(x) > 0,
$$
所以 $x=0$ 为函数的极小值点,所以极小值为
$$
\boldsymbol{F}(0)=\int_0^0 e^{-t^2} \mathrm{~d} t=0 .
$$
(2)对函数求二阶导数,于是有
$$
F^{\prime \prime}(x)=\left(2 x e^{-x^4}\right)^{\prime}=2 e^{-x^4}-8 x^4 e^{-x^4}=0
$$
即 $2 e^{-x^4}\left(1-4 x^4\right)=0$ ,由此可得 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. 容易判断出 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 两侧变号,所以 $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 为曲线
$y=F(x)$ 的拐点的横坐标.
$$
\text { (3) } \begin{aligned}
\int_{-2}^3 x^2 F^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{-2}^3 2 x^3 e^{-x^4} \mathrm{~d} x \\
=&-\frac{1}{2} \int_{-2}^3 e^{-x^4} \mathrm{~d}\left(-x^4\right)=-\left[\frac{1}{2} e^{-x^4}\right]_{-2}^3 \\
=& \frac{1}{2}\left(e^{-16}-e^{-81}\right)
\end{aligned}
$$


系统推荐