设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数,且
$$
\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1, \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x=\frac{27}{2},
$$
证明: $\int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x > 2021$.
【答案】 由积分的计算性质,有
$$
\int_0^1 f(x)(2 x-1) \mathrm{d} x=2 \int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=26
$$
由柯西-施瓦茨不等式:
$$
\begin{aligned}
& 26^2 \leq \int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \int_0^1(2 x-1)^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} \int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \\
& \Rightarrow \int_0^1 f^2(x) \mathrm{d} x \geq 3 \times 26^2=2028 > 2021
\end{aligned}
$$


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