2023普通高等学校微积分专项练习-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

一个立体以圆域 $x^2+y^2 \leq 1$ 为底，且该立体与 $x$ 轴垂直的截面均为正方形，求该立体的体积。

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我来讲解

答案：

这个题比较特别，可以想象成是无数个垂直于 $x O y$ 平面的正方形相互拼接而成的一个几何体，投影图是一个圆，当 $x=x_0$ 时 $y=\sqrt{1-x_0^2}$, 截面面积 $S\left(x_0\right)=\left[2 \sqrt{1-x_0^2}\right]^2$
因此体积 $V=\int_{-1}^1 S(x) d x$
$$
\begin{aligned}
& =4 \int_{-1}^1\left(1-x^2\right) d x \\
& =8 \int_0^1\left(1-x^2\right) d x \\
& =\left.8\left(x-\frac{x^2}{3}\right)\right|_0 ^1=\frac{16}{3}
\end{aligned}
$$

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