一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha \ln ^\beta n}$ 收敛的充要条件是
$\text{A.}$ $\alpha>1$.
$\text{B.}$ $\alpha>1, \beta>1$.
$\text{C.}$ $\alpha \geqslant 1, \beta>1$.
$\text{D.}$ $\alpha>1$ 或 $\alpha=1, \beta>1$.
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 它在区间 $(-\pi, \pi]$ 上的表达式是 $f(x)=x+x^2$. 若其傅里叶 (Fourier) 级数为 $S(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$, 则
$\text{A.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
$\text{B.}$ $b_3=\frac{4}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{C.}$ $b_3=\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi$.
$\text{D.}$ $b_3=-\frac{2}{3}, S(3 \pi)=\pi^2$.
下列广义积分中, 发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{C.}$ $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} \mathrm{~d} x$
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,下面 4 个级数，
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-a_{n+1}\right)$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$.
必收敛的个数为 （ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 连续且满足 $f(x+\pi)+f(x)=0$, 则 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶系数 $(n=1$, $2, \cdots)$
$\text{A.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n}=0$.
$\text{B.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{C.}$ $a_{2 n-1}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{D.}$ $a_{2 \pi-1}=0, b_{2 n}=0$.
已知 $a_n=\frac{(-1)^{[\cos 2 n]}}{n}$, 其中 $n$ 为正整数, $[\cos 2 n]$ 表示不超过 $\cos 2 n$ 的最大整数, 则数列 $\left\{a_n\right\}$
$\text{A.}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$, 有最小值 -1 .
$\text{B.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ 有最大值 1 , 有最小值 $-\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 有最大值 $\frac{1}{3}$, 有最小值 -1 .
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=-5$ 处收敛,则其在 $x=0$ 处是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性不能确定
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n^2+n}\right)=$
已知 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$, 则 $f^{\prime}(1)=$
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$, 则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}}=$
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数, 且当 $x \in(-\pi, \pi)$ 时, $f(x)=x \sin x$. 若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x$, 则 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n=$
设 $\alpha>0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha}{\alpha^n}$ 和级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{3-\alpha} n}$ 均收敛,则 $\alpha$ 的取值范围为
$y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数是 $S(x)=$
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $\left(2-a_n\right) a_{n+1}=1$, 证明:
(a)存在正整数 $k$, 使得 $a_k \leq 1$.
(b) 数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在极限, 并求其极限值.
(c) 若 $a_1 \neq 1$, 则 $a_n(n=1,2, \cdots)$ 两两不等.
(d) 满足题设且 $a_1 \neq 1$ 的数列 $\left\{a_n\right\}$ 存在.
求极限$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)$
计算: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\right)$ 。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n !} x^{2 n}$ 的收敛域与和函数.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=4$ 处条件收敛, 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ 是否收敛, 若收敛,请说明是条件收敛,还是绝对收敛.
$x$ 为大于 0 的常数,构造数列 $\left\{x_n\right\}: x_1=\sqrt{x}, x_{n+1}=\sqrt{x+x_n}(n=1,2, \cdots)$.
(I) 证明: 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛;
(II) 给定正整数 $m \geqslant 2$, 求方程 $\lim x_n=m$ 的解.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{10 n}\left(1-\left|\sin \frac{x}{n}\right|\right)^n \mathrm{~d} x$ 的值.
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{2^n(n+1)}$, 其中 $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}(n \geq 1)$
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2 n+1)}$ 的和.
设 $x_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k !}, n=1,2, \cdots$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln x_n}{\sqrt[n]{\mathrm{e}}-1}-n\right) .$
设 $a_1>0, a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}, n=1,2, \cdots$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=0$.
设函数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x e^{-n x}}{\ln n}$.
(1) 求函数项级数的收敛区间.
(2) 设 $a>0$ ，证明: 函数项级数在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛.
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right), m, n$ 是任意正整数.
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \frac{\ln \left(\mathrm{e}^x+x\right)}{x}\right]$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n ! \cdot 2^n}(x-2)^n$ 的收敛域与和函数.
设 $a_n>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，以 $S_n$ 表示前 $n$ 项的和，即 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
证明: (1) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n}$ 发散.
(2) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n{ }^2}$ 收敛.
设定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f_n(x)=\int_0^x(|t-1|-|t|) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$.
(I) 求 $f_n(x)$ 的最大值点;
(II) 记 $\max _{-\pi \leqslant x \leqslant \pi} f_n(x)=a_n$, 证明: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛, 且级数和小于 $\frac{3}{2} \ln 3-2 \ln 2$.
求函数 $f(x)=\int_0^x \frac{\ln (1+2 t)}{t} \mathrm{~d} t$ 的麦克劳林级数级数.
令 $F(x)=-\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{e}\right)+\int_{-1}^1|x-t| e^{-t^2} \mathrm{~d} t$, 讨论方程 $\boldsymbol{F}(x)=0$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上实数根的个数.
讨论级数 $1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\cdots+\frac{1}{1+2+\cdots+n}+\cdots$ 的敛散性. 若收敛, 求其和.
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^n}(a>0)$ 的敛散性.
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2+4 x+3}$ 展开成 $x-1$ 的幕级数.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{2 n^2}}\right)$