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yan10

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 14 题），每题只有一个选项正确

1. 微分方程

y^{''} + y = 0

的通解是

A.

y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x

B.

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

C.

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{x}

D.

y = C_{1} e^{x} + C_{2}

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2. 设

y = y (x)

满足条件

\begin{aligned} y^{''} + 4 y^{'} + 4 y = 0, \\ y (0) = 2, y^{'} (0) = 0, \end{aligned}

则

\int_{0}^{+ \infty} y (x) d x =

A.

B.

-2

C.

D.

-1

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3. 常微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x + y^{2}}

的类型属于

A.

可分离变量的微分方程

B.

齐次方程

C.

关于

y = y (x)

的一阶线性微分方程

D.

关于

x = x (y)

的一阶线性微分方程

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4. 若微分方程

y^{″} + a y^{'} + b y = 0

的解在

(- \infty, + \infty)

上有界,则

A.

a < 0

b > 0

B.

a > 0

b > 0

C.

a = 0

b > 0

D.

a = 0

b < 0

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5. 设函数

y = f (x)

由

{\begin{cases} x = 2 t + | t | \\ y = | t | \sin t \end{cases}

确定,则

A.

f (x)

连续,

f^{'} (0)

不存在.

B.

f^{'} (0)

存在,

f^{'} (x)

在

x = 0

处不连续.

C.

f^{'} (x)

连续,

f " (0)

不存在.

D.

f " (0)

存在,

f^{'} (x)

在

x = 0

处不连续.

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6. 已知

a_{n} < b_{n} (n = 1, 2, \dots)

,若级数

Σ_{n = 1}^{\infty} a_{n}

与

Σ_{n = 1}^{\infty} b_{n}

均收敛,则"

Σ_{n = 1}^{\infty} a_{n}

绝对收敛”是“

Σ_{n = 1}^{\infty} b_{n}

绝对收敛”的

A.

充分必要条件.

B.

充分不必要条件.

C.

必要不充分条件.

D.

既不充分也不必要条件.

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7. 已知

n

阶矩阵

A

B

C

满足

A B C = O

E

为

n

阶单位矩阵.记矩阵

[\begin{matrix} O & A \\ B C & E \end{matrix}]

[\begin{matrix} A B & C \\ O & E \end{matrix}]

[\begin{matrix} E & A B \\ A B & O \end{matrix}]

的秩分别为

r_{1}

r_{2}

r_{3}

,则

A.

r_{1} \leq r_{2} \leq r_{3}

B.

r_{1} \leq r_{3} \leq r_{2}

C.

r_{3} \leq r_{2} \leq r_{1}

D.

r_{2} \leq r_{1} \leq r_{3}

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8. 下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是

A.

(\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})

B.

(\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3 \end{matrix})

C.

(\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

D.

(\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

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9. 已知向量

α_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})

α_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

β_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 9 \end{matrix})

β_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

,若

γ

既可由

α_{1}

α_{2}

线性表示,也可由

β_{1}

β_{2}

线性表示,则

γ =

A.

k (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}), k \in R

B.

k (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 10 \end{matrix}), k \in R

C.

k (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}), k \in R

D.

k (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 8 \end{matrix}), k \in R

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10. 设随机变量

X

服从参数为1的泊松分布,则

E (| X - E X |) =

A.

\frac{1}{e}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{2}{e}

D.

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11.

X_{1}

X_{2}

\dots

X_{n}

为来自总体的

N (μ_{1}, σ^{2})

的简单随机样本,

Y_{1}

Y_{2}

\dots

Y_{m}

,为来自总体的

N (μ_{2}, 2 σ^{2})

的简单随机样本,且两样本相互独立,记

\overset{―}{X} = \frac{1}{n} Σ_{i = 1}^{n} X_{i}, \overset{―}{Y} = \frac{1}{m} Σ_{i = 1}^{m} Y_{i}, S_{1}^{2} = \frac{1}{n - 1} Σ_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{―}{X})^{2}, S_{2}^{2} = \frac{1}{m - 1} Σ_{i = 1}^{m} (Y_{i} - \overset{―}{Y})^{2}

则

A.

\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F (n, m)

B.

\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)

C.

\frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F (n, m)

D.

\frac{2 S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F (n - 1, m - 1)

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12. 微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x}

的通解是

A.

\frac{1}{\sin \frac{y}{x}} = c x

B.

\sin \frac{y}{x} = x + c

C.

\sin \frac{y}{x} = c x

D.

\sin \frac{x}{y} = c x

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13. 设函数

y = y (x)

是微分方程

y^{'''} - y^{''} - y^{'} + y = 0

的解, 在

x = 0

处

y (x)

取得极值 4 , 且

y^{''} (0) =

0 , 则

y (x) =

A.

(3 - 2 x^{2}) e^{x} + e^{- x}

B.

3 e^{x} + x e^{- x}

C.

(3 - 2 x) e^{x} + e^{- x}

D.

e^{x} + (3 - 2 x) e^{- x}

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14. 微分方程

y^{''} + 4 y = x \cos^{2} x

的特解形式为

A.

a x + b + (A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x

B.

x (a x + b) + (A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x

C.

a x + b + x (A \cos 2 x + B \sin 2 x)

D.

a x + b + x [(A x + B) \cos 2 x + (C x + D) \sin 2 x]

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

15. 设隐函数

y = y (x)

由方程

y^{2} (x - y) = x^{2}

所确定，则

\int \frac{d x}{y^{2}} =

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16. 微分方程

\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = - 1

的通解为

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17. 已知

\frac{(x + a y) d x + y d y}{(x + y)^{2}}

是全微分表达方式, 则

a =

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18. 设

y = y (x)

由

\int_{x + 1}^{x + y} e^{- (t - x)^{2}} d t = x + 1 - y

确定, 则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{x = 0} =

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19. 常微分方程

^{a} y^{'} + 2 x y = 2 x

的通解为

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20. 常微分方程

x^{2} y^{''} + x y^{'} - 4 y = 0 (x > 0)

的通解为

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21. 已知某商品的需求弹性为

η = 4 p^{4}, p

为商品的价格, 市场对该商品的最大需求量为 1 (单位: 万元), 则需求函数

Q =

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22. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为

y = x e^{x}

, 则该方程为:

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23. 设

y = y (x)

是初值问题

{\begin{cases} y^{''} - 2 y^{'} - 3 y = 1, \\ y (0) = 0, y^{'} (0) = 1 \end{cases}

的解, 则

y (x) =

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24. 设函数

y = y (x)

由方程

y = 1 + \arctan (x y)

所决定, 则

y^{'} (0) =

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25. 若

y = e^{- x} (1 + 2 x) + 3 e^{x}

是线性常系数微分方程

y^{''} + p y^{'} + q y = A e^{- x}

的特解, 则常数

A =

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三、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

26. (1)方程

x y + e^{y^{2}} - x = 0

确定隐函数

y = y (x)

, 求曲线

y = y (x)

在点

(1, 0)

处的切线方程.
(2) 求微分方程

y^{''} + 5 y^{'} - 6 y = x e^{- 2 x}

的通解.

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27. 求微分方程

\tan x \frac{d y}{d x} - y = 5

的通解.

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28. 求微分方程

y^{''} - 4 y^{'} + 3 y = 10 \sin x

的通解.

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29. 设曲线

y = y (x)

由参数方程

x = t \ln t, y = \frac{\ln t}{t} (t > \frac{1}{e})

给出, 求:
(I)

y = y (x)

的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线

y = y (x)

, 直线

x = - \frac{1}{e}, x = e

及

x

轴所围成平面区域的面积.

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30. 飞行器在发射升空的过程中，由于其表面与空气摩擦，飞行器的表面温度会发生变化. 设飞行器表面为椭球面，其方程为

4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} = 16

，表面的温度函数为

T = 8 x^{2} + 4 y z - 16 z + 600 .

试确定飞行器表面温度最高和最低的点.

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31. 求常微分方程

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}

的通解

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32. 利用变换

u = x + e^{y}, v = x - e^{y}

求解微分方程

e^{2 y} z_{x x} - z_{y y} + z_{y} = 0

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33. 求微分方程

y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = x e^{2 x}

的通解

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34. 若二元函数

f (u, v)

对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足

u \frac{\partial f}{\partial u} + v \frac{\partial f}{\partial v} = 4 f (u, v)

, 并且满足

\frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = u^{2} + v^{2}

。
(1) 求证:

{\begin{cases} u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} + 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = 12 f (u, v) \\ v^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}} - 2 u v \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} + u^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}} = {(u^{2} + v^{2})}^{2} - 12 f (u, v) \end{cases}

(2) 记

g (x, y) = f (e^{λ x} \cos y, e^{λ x} \sin y)

, 其中

λ

是一个常数, 求解

\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}

。

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35. 设

x > 0

时，

(1 + x^{2}) f^{'} (x) + (1 + x) f (x) = 1 ， g^{'} (x) = f (x), f (0) = g (0) = 0

.
证明:

\sum_{n = 1}^{\infty} g (\frac{1}{n}) < \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{12}

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36. 解方程

y^{'} - \frac{2}{x} y = 2 x^{2}

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37. 设

y = x \ln x

是方程

x^{2} y^{''} + p (x) y^{'} + y = 0

的一个解,
(1) 求

p (x)

的表达式;
(2) 求解方程

x^{2} y^{''} + p (x) y^{'} + y = x \ln x

。

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38. 求

x = \cos t (0 < t < π)

将方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + y = 0

化为

y

关于

t

的微分方程, 并求满足

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

的解.

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39. 解方程

(x^{2} + y^{2} + 3) \frac{d y}{d x} = 2 x (2 y - \frac{x^{2}}{y})

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40. 解方程

(x^{2} + y^{2} + 3) \frac{d y}{d x} = 2 x (2 y - \frac{x^{2}}{y})

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