一、单选题 （共 14 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2$
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \\
& y(0)=2, y^{\prime}(0)=0,
\end{aligned}
$$
则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
常微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y^2}{x+y^2}$ 的类型属于
$\text{A.}$ 可分离变量的微分方程
$\text{B.}$ 齐次方程
$\text{C.}$ 关于 $y=y(x)$ 的一阶线性微分方程
$\text{D.}$ 关于 $x=x(y)$ 的一阶线性微分方程
若微分方程$y''+ay'+by=0$的解在$(-\infty,+\infty)$上有界,则
$\text{A.}$ $a < 0$,$b>0$
$\text{B.}$ $a>0$,$b>0$
$\text{C.}$ $a=0$,$b>0$
$\text{D.}$ $a=0$,$b < 0$
设函数$y= f(x)$由$\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}$确定,则
$\text{A.}$ $f(x)$连续,$f'(0)$不存在.
$\text{B.}$ $f'(0)$存在,$f'(x)$在$x=0$处不连续.
$\text{C.}$ $f'(x)$连续,$f"(0)$不存在.
$\text{D.}$ $f"(0)$存在,$f'(x)$在$x=0$处不连续.
已知$a_{n} < b_{n}(n=1,2,\cdots)$,若级数$\mathop{\Sigma}\limits_{n=1}^{\infty}a_n$与$\mathop{\Sigma}\limits_{n=1}^{\infty}b_n$均收敛,则"$\mathop{\Sigma}\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛”是“$\mathop{\Sigma}\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$绝对收敛”的
$\text{A.}$ 充分必要条件.
$\text{B.}$ 充分不必要条件.
$\text{C.}$ 必要不充分条件.
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件.
已知$n$阶矩阵$A$,$B$,$C$满足$ABC=O$,$E$为$n$阶单位矩阵.记矩阵$\begin{bmatrix}O&A\\BC&E\end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix}AB&C\\O&E\end{bmatrix}$,$\begin{bmatrix}E&AB\\AB&O\end{bmatrix}$的秩分别为$r_1$,$r_2$,$r_3$,则
$\text{A.}$ $r_1\le r_2\le r_3$
$\text{B.}$ $r_1\le r_3\le r_2$
$\text{C.}$ $r_3\le r_2\le r_1$
$\text{D.}$ $r_2\le r_1\le r_3$
下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}$
$\text{B.}$ $\begin{pmatrix}1&1&a\\1&2&0\\a&0&3\end{pmatrix}$
$\text{C.}$ $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$
$\text{D.}$ $\begin{pmatrix}1&1&a\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}$
已知向量$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$, $\alpha_2=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$,$\beta_1=\begin{pmatrix}2\\5\\9\end{pmatrix}$,$\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$,若$\gamma$既可由$\alpha_1$,$\alpha_2$线性表示,也可由$\beta_1$,$\beta_2$线性表示,则$\gamma=$
$\text{A.}$ $k\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix},k\in R$
$\text{B.}$ $k\begin{pmatrix}3\\5\\10\end{pmatrix},k\in R$
$\text{C.}$ $k\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix},k\in R$
$\text{D.}$ $k\begin{pmatrix}1\\5\\8\end{pmatrix},k\in R$
设随机变量$X$服从参数为1的泊松分布,则$E(|X-EX|)=$
$\text{A.}$ $\dfrac{1}{e}$
$\text{B.}$ $\dfrac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\dfrac{2}{e}$
$\text{D.}$ 1
$X_1$,$X_2$,$\cdots$,$X_n$为来自总体的$N(\mu_1,\sigma^2)$的简单随机样本,$Y_1$,$Y_2$,$\cdots$,$Y_m$,为来自总体的$N(\mu_2,2\sigma^2)$的简单随机样本,且两样本相互独立,记
$$\overline{X}=\dfrac{1}{n}\mathop{\Sigma}\limits_{i=1}^{n}X_{i},\overline{Y}=\dfrac{1}{m}\mathop{\Sigma}\limits_{i=1}^{m}Y_{i},S_1^2=\dfrac{1}{n-1}\mathop{\Sigma}\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2},S_{2}^{2}=\dfrac{1}{m-1}\mathop{\Sigma}\limits_{i=1}^{m}(Y_{i}-\overline{Y})^{2}$$
则
$\text{A.}$ $\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)$
$\text{B.}$ $\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$
$\text{C.}$ $\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n,m)$
$\text{D.}$ $\dfrac{2S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$
微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}$ 的通解是
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sin \frac{y}{x}}=c x$
$\text{B.}$ $\sin \frac{y}{x}=x+c$
$\text{C.}$ $\sin \frac{y}{x}=c x$
$\text{D.}$ $\sin \frac{x}{y}=c x$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ 的解, 在 $x=0$ 处 $y(x)$ 取得极值 4 , 且 $y^{\prime \prime}(0)=$ 0 , 则 $y(x)=$
$\text{A.}$ $\left(3-2 x^2\right) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{B.}$ $3 \mathrm{e}^x+x \mathrm{e}^{-x}$.
$\text{C.}$ $(3-2 x) \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+(3-2 x) \mathrm{e}^{-x}$.
微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=x \cos ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a x+b+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{B.}$ $x(a x+b)+(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x$
$\text{C.}$ $a x+b+x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $a x+b+x[(A x+B) \cos 2 x+(C x+D) \sin 2 x]$
二、填空题 （共 11 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设隐函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^2(x-y)=x^2$ 所确定，则
$$
\int \frac{\mathrm{d} x}{y^2}=
$$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{y}{x}=-1$ 的通解为
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^2}$ 是全微分表达方式, 则 $a=$
设 $y=y(x)$ 由 $\int_{x+1}^{x+y} \mathrm{e}^{-(t-x)^2} \mathrm{~d} t=x+1-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
常微分方程 ${ }^a y^{\prime}+2 x y=2 x$ 的通解为
常微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0(x>0)$ 的通解为
已知某商品的需求弹性为 $\eta=4 p^4, p$ 为商品的价格, 市场对该商品的最大需求量为 1 (单位: 万 元), 则需求函数 $Q=$
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
设 $y=y(x)$ 是初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=1, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 则 $y(x)=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $y=1+\arctan (x y)$ 所决定, 则 $y^{\prime}(0)=$
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
三、解答题 （ 共 15 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
(1)方程 $x y+e^{y^2}-x=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$, 求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=x e^{-2 x}$ 的通解.
求微分方程 $\tan x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=5$ 的通解.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=10 \sin x$ 的通解.
设曲线 $y=y(x)$ 由参数方程 $x=t \ln t, y=\frac{\ln t}{t}\left(t>\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 给出, 求:
(I) $y=y(x)$ 的单调区间和极值、凹凸区间和拐点；
(II) 由曲线 $y=y(x)$, 直线 $x=-\frac{1}{\mathrm{e}}, x=\mathrm{e}$ 及 $x$ 轴所围成平面区域的面积.
飞行器在发射升空的过程中，由于其表面与空气摩 擦，飞行器的表面温度会发生变化. 设飞行器表面为椭球面， 其方程为 $4 x^2+y^2+4 z^2=16$ ，表面的温度函数为
$$
T=8 x^2+4 y z-16 z+600 .
$$
试确定飞行器表面温度最高和最低的点.
求常微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^x$ 的通解
利用变换 $u=x+e^y, v=x-e^y$ 求解微分方程 $e^{2 y} z_{x x}-z_{y y}+z_y=0$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=x e^{2 x}$ 的通解
若二元函数 $f(u, v)$ 对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足 $u \frac{\partial f}{\partial u}+v \frac{\partial f}{\partial v}=4 f(u, v)$, 并且 满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=u^2+v^2$ 。
(1) 求证: $\left\{\begin{array}{l}u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=12 f(u, v) \\ v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=\left(u^2+v^2\right)^2-12 f(u, v)\end{array}\right.$
(2) 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{\lambda x} \cos y, \mathrm{e}^{\lambda x} \sin y\right)$, 其中 $\lambda$ 是一个常数, 求解 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ 。
设 $x>0$ 时， $\left(1+x^2\right) f^{\prime}(x)+(1+x) f(x)=1 ， g^{\prime}(x)=f(x), f(0)=g(0)=0$.
证明: $\sum_{n=1}^{\infty} g\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$.
解方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=2 x^2$
设 $y=x \ln x$ 是方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=0$ 的一个解,
(1) 求 $p(x)$ 的表达式;
(2) 求解方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=x \ln x$ 。
求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程, 并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解.
解方程$ \left(x^2+y^2+3\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x\left(2 y-\frac{x^2}{y}\right) $
解方程 $\left(x^2+y^2+3\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x\left(2 y-\frac{x^2}{y}\right) $