2022浙江大学春季学期数学分析2期中测试（青春回忆版）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

(1)方程 $x y+e^{y^2}-x=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$, 求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程.
(2) 求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=x e^{-2 x}$ 的通解.

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答案：

（1）分析: 本题实际上考察的是隐函数的求导, 之后再利用切线方程公式求解即可. 解: 方程 $x y+e^{y^2}-x=0$ 两边同时对 $x$ 求导有: $y+x y^{\prime}+e^{y^2} \cdot 2 y y^{\prime}-1=0$; 将 $x=1, y=0$ 代入有: $y^{\prime}(0,1)=1$;
故曲线 $y=y(x)$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为: $y-0=1 \cdot(x-1) \Longrightarrow y=x-1$.

（2）分析: 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程, 求其通解我们先求该方程齐次方程的通解; 再求解非齐次方程的一个特解; 二者的和为非齐次方程的通解.
解: 齐次方程为: $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=0$;
其特征方程为: $r^2+5 r-6=0 \Longrightarrow(r+6)(r-1)=0 \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}r_1=-6 \\ r_2=1\end{array}\right.$;
齐次方程的通解为: $Y=C_1 e^{-6 x}+C_2 e^x$.
非齐次方程为: $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-6 y=x e^{-2 x} ; \lambda=-2$ 不是 $r^2+5 r-6=0$ 的根, $k=0$;
因此设非齐次方程的一个特解为: $y^*=x^k Q_m(x) e^{\lambda x}=x^0 Q_1(x) e^{-2 x}=(a x+b) e^{-2 x}$;
$$
\begin{aligned}
\left(y^*\right)^{\prime} & =a e^{-2 x}+(a x+b) e^{-2 x} \cdot(-2)=a e^{-2 x}-2(a x+b) e^{-2 x} ; \\
\left(y^*\right)^{\prime \prime} & =a e^{-2 x} \cdot(-2)-\left[2 a e^{-2 x}+2(a x+b) e^{-2 x} \cdot(-2)\right]=-2 a e^{-2 x}-2 a e^{-2 x}+4(a x+b) e^{-2 x} \\
& =-4 a e^{-2 x}+4(a x+b) e^{-2 x} ;
\end{aligned}
$$

将 $y^* 、\left(y^*\right)^{\prime} 、\left(y^*\right)^{\prime \prime}$ 代入非齐次方程中有:
$$
\begin{aligned}
& -4 a e^{-2 x}+4(a x+b) e^{-2 x}+5 \cdot\left[a e^{-2 x}-2(a x+b) e^{-2 x}\right]-6 \cdot(a x+b) e^{-2 x}=x e^{-2 x} \\
& \Longrightarrow-4 a+4(a x+b)+[5 a-10(a x+b)]-6(a x+b)=x \\
& \Longrightarrow-4 a+4 a x+4 b+5 a-10 a x-10 b-6 a x-6 b=x \\
& \Longrightarrow-12 a x+a-12 b=x \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=-\frac{1}{12} \\
b=-\frac{1}{144}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
因此非齐次方程的一个特解为: $y^*=\left(-\frac{1}{12} x-\frac{1}{144}\right) e^{-2 x}=-\left(\frac{1}{12} x+\frac{1}{144}\right) e^{-2 x}$.
因此非齐次方程的通解为: $y=Y+y^*=C_1 e^{-6 x}+C_2 e^x-\left(\frac{1}{12} x+\frac{1}{144}\right) e^{-2 x}$.

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