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设定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f_n(x)=\int_0^x(|t-1|-|t|) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$.
(I) 求 $f_n(x)$ 的最大值点;
(II) 记 $\max _{-\pi \leqslant x \leqslant \pi} f_n(x)=a_n$, 证明: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛, 且级数和小于 $\frac{3}{2} \ln 3-2 \ln 2$.
                        
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