题号:
6606
题型:
单选题
来源:
考研数学《微积分》专项训练来源微信公众号-高度数学
数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots \cdots, \sqrt[n]{n} $ 的最大项为
$ \text{A.}$ $\sqrt{2}$.
$ \text{B.}$ $\sqrt[3]{3}$.
$ \text{C.}$ $\sqrt[4]{4}$.
$ \text{D.}$ $\sqrt[5]{5}$
0
人点赞
纠错
26
次查看
我来讲解
答案：
答案：
B
解析：
解: 设 $f(x)=x^{\frac{1}{x}}, x \geqslant 1$, 考查 $f(x)$ 的单调性并求 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 的最大值.
$$
f^{\prime}(x)=\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{x} \ln x}\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2} \begin{cases}>0, & 1 \leqslant x < \mathrm{e} \\ =0, & x=\mathrm{e} \\ < 0, & x>\mathrm{e}\end{cases}
$$
于是 $1 \leqslant x \leqslant \mathrm{e}$ 时 $f(x) \nearrow$, 当 $x \geqslant \mathrm{e}$ 时 $f(x) \searrow$. 因此在 $x=\mathrm{e}$ 两侧的数列项是 $\sqrt{2}$ 与 $\sqrt[3]{3}, x=\mathrm{e}$ 是 $\mathrm{f}(x)$
【评注】不能对 $f(n)=n^{\frac{1}{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ 求导, 因为数列没有导数概念.
关闭页面
下载Word格式