2021高等数学《微积分》摸底测试与答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

将函数 $f(x)=\frac{x-2}{2+x}$ 展开成 $(x-2)$ 的幂级数, 并指出其收敛域.

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答案：

解：
$$
\begin{aligned}
f(x) & =\frac{x-2}{4+(x-2)}=\left(\frac{x-2}{4}\right) \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{x-2}{4}\right)} \\
& =\left(\frac{x-2}{4}\right) \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-2}{4}\right)^n \\
& =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{(x-2)^{n+1}}{4^{n+1}}(7 \text { 分 } \quad(-2 < x < 6)
\end{aligned}
$$

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